Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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AC: A'C:: AB: A'Br, perchb i triangoli dati sono simili
dunque AB: A'B':: A'B': A'B", ed il teorema e dimostrato pei
due triangoli simili.
Se sono dati due poligoni simili ABCDE, A'B'C'D'E',
qualunque sia il numero dei loro vertici, dividiamoli nei
triangoli simili ABC, A'B'C'; ACD, A'C'D'; ADE, A'D'E'.
Chiamati ABj, A2C2, A3D3 i segmenti terzi proporzionali
rispetto ad AB, A'B'; AC, A'C'; AD, AID', abbiamo che
ABC: A'B'C': AC: AC:: ACD: A'C'D':: AD: A3D3:: ADE: A'D'E',
quindi ABC: A'BC':: ACD: A'C'D':: ADE AD'E', da cui abbiamo
che ABC+ACD +ADE: A'B'C'+A'C'D' + A'D'E':: ABC: A'B'C';
ma ABC: A'B'C':: AB: A1,B, dunque ABCDE: A'B'C'D'E': AB: AB,.
Il teorema e dimostrato in generale e ci da un metodo per costruire la ragione dei due dati poligoni simili, che e piu breve
di quello trovato per due poligoni qualunque (444, Pr.).
Corollario. - I quadrati AB2, A'B'2 di due lati corrispondenti sono simili (446, C. 5~), quindi AB2: AB'2:: AB: A1B, e
percib ABCDE: A'B'C'D'E':: AB2: A'B' 2.
Dati due poligoni simili, il primo sta al secondo come il
quadrato di un lato qualunque del primo sta al quadrato del
lato corrispondente del secondo.
a4z. Teorema. - Se quattro segmenti formano
una proporzione, due poligoni simili, che hanno per
lati corrispondenti i primi due, stanno fra loro come
due poligoni simili, che hanno per lati corrispondenti gli ultimi due, e viceversa.
Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui i poligoni
simili siano quadrati. Sui lati degli angoli A.BC =A'.BC' possiamo prendere i segmenti AB, AC, A'B', A'C' uguali ai quattro
segmenti dati, e dire che AB: A'B':: AC: AC'. Allora
i triangoli ABC, A'B'C' sono simili (446, C. 30), e percio
ABC: A'B'C':: AB2: A'B'2, ABC: A'B'C':: AC2: A'C'2 (451, C.),
dunque AB2: A'B'2:: AC2: A'C'2. Nel caso generale sappiamo
che un poligono, che ha per lato AB, sta al poligono simile,
che ha per lato corrispondente A'B', come AB2 sta ad A.'B'2,
mentre un poligono, che ha per lato AC, sta ad un poligono si