Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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dal teorema precedente, basta considerare i punti comuni alla
figura ed al piano delle due date rette parallele.
441. Problema 1~. - Dati tre o due segmenti, e fissato il
loro ordine, costruire il segmento quarto o terzo proporzionale rispetto ad essi.
Sopra un lato di un angolo arbitrario prendiamo i segmenti
AB,AC uguali al primo ed al secondo dei segmenti dati,
e sull' altro lato prendiamo il segmento AB' uguale al terzo;
se la retta CC', parallela a BB', sega la AB' in C', abbiamo che
AB: AC: AB': AC' (437, C. 2~), quindi il segmento costruito
AC' e il quarto proporzionale cercato.
II problema si pub risolvere anche prendendo sopra una
retta r i segmenti AB, AC uguali al primo ed al secondo di
quelli dati, e prendendo sopra una retta r', parallela ad r, il
segmento A'B' uguale al terzo segmento dato; allora, se
A B C. A' B ' -
A'B'; AB, le rette AA', BB' determinano un punto P, la PC
sega r' in un punto C', e, sapendo che AB: AC:: A'B': A'C'
(440, T. 1~), vediamo che A'C' e il segmento cercato; se
A'B' AB, il segmento cercato A'C' e uguale ad AC.
Quando si tratta di costruire il segmento terzo proporzionale
rispetto a due segmenti dati, basta prendere il terzo segmento
uguale al secondo, cioe AB' AC o A'B' AG, secondo che si
tratta della prima o della seconda costruzione.
Problema 2~. -Dividere un segmento dato in parti rispettivamente proporzionali a segmenti dati in un ordine fissato.
Sopra un lato di un angolo A.DD' prendiamo un segmento
AD uguale al segmento dato, che deve essere diviso nel modo
detto, e sull'altro lato costruiamo successivamente i segmenti
AB', B'C', C'D' uguali agli altri segmenti dati, presi nell'ordine
stabilito. Dopo ci5, descritta la retfa DD', costruiamo le rette
B'B, C'C parallele a DD', se queste rette segano AD in B, C,
si ha che AB': AB:: B'C': BC:: C'D': CD, quindi i punti B, C
dividono AD nel modo voluto.

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