Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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ed avendo B' > C' dalla proporzione B: C:: E: F ne deduciamo che Ef > F', quindi Df > F'; ma D', F' sono multiple di
D, F come A', C' sono equimultiple di A, C, dunque anche
D', F' sono equimultiple di D, F, e percib D > F (350, T.) (421).
Analogamente, supposto A < C, si dimostra che D < F. Se poi
A = C non puo essere D < F, perche sarebbe A c C, dunque
deve essere D -= F.
Teorema 2~ - Dati due gruppi ciascuno formato
da tre grandezze omogenee, se la ragione della
prima e della seconda di uno e uguale alla ragione
della prima e della seconda dell'altro, e la ragione
della seconda e della terza di questo, e uguale alla
ragione della seconda e della terza di quello, si deduce che la ragione della prima e della terza di uno
e uguale alla ragione della prima e della terza dell'altro.
Date tre grandezze omogenee A, B, C, ed altre tre pure
omogenee D, E, F, se A: B:: D: E, B: C:: E: F, se ne deduce che A: C:: D: F.
Prendiamo A', D' equimultiple di A, D, in modo che sia
A' > C, e fra le successive grandezze multiple di C e minori
di A' prendiamo la maggiore C'; avremo C' < A' < C' + C.
Ora, se F' e multipla di F come C' e multipla di C, anche
F' + F e multipla di F come C' + C e multipla di C, e la
proporzione B: C:: E: F ci dh B: C':: E: F' e
B: C' + C:: E: F' + F;
avendo pure A': B:: D': E (427, T. 2~), poich6 A' > C' troviamo D' > F', e poiche A' < C' + C troviamo D' < F'+-F
(431, T. 1~), quindi F' < D' < F' +- F, ossia F e contenuto in
D' quante volte e contenuto in F', ma C' < Ar < C' + C,
ossia C e contenuto in A' quante volte e contenuto in C', e
C', F' essendo equimultiple di C, F le contengono uno stesso
numero di volte, dunque anche A', D' contengono uno stesso
numero di volte C, F, e percib A: C:: D: F.