Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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4a Prese due grandezze, in un dato ordine, un'altra grandezza si
dice terza proporzionale rispetto ad esse, se la prima sta alla seconda,
come la seconda sta alla terza.
5a Prese due grandezze, in un dato ordine, un'altra grandezza si
dice quarta proporzionale rispetto ad esse, se la seconda sta alla terza
proporzionale, come la terza proporzionale sta alla quarta.
430. Teorema 1~ - Data una proporzione, la
somma delle prime due grandezze sta alla prima,
o alla seconda, come la seconda delle ultime due sta
alla terza, o alla quarta.
Se A: B:: C: D, si ha che A + B: B:: C + D: D,
A + B: A:: C + D:C.
Infatti, se A', B', C', D' sono equimultiple arbitrarie di A, B,
C, D, sappiamo che A' - B', C' + D' sono equimultiple di
A + B, C + D; ora B e contenuta in A' + B' tante volte
quante e contenuta in A' ed in B', e cosi D e contenuta in
C' D' tante volte quante e contenuta in C' ed in D'; ma B,D
sono contenute uno stesso numero di volte nelle loro equimultiple B',D' ed uno stesso numero di volte in A', C', perche
A: B:: C: D, dunque sono contenute uno stesso numero di volte
anche in A' B', C' + D', e percio A +- B: B:: C + D: D.
Dalla data proporzione, invertendo, si ha che B: A:: D: C, e,
applicando a questa proporzione il ragionamento fatto precedentemente, ne deduciamo che A + B: A:: C +- D:C.
Teorema 2~ - Quattro grandezze formano una
proporzione, se la somma delle prime due sta alla
prima, o alla seconda, come la somma delle ultime
due sta alla terza, o alla quarta.
Se A + B: A:: C + D: C o A + B: B:: C - D: D, se ne
deduce che A: B:: C: D.
Infatti, se A', B', C', D' sono equimultiple arbitrarie di A,
B, C, D, sappiamo che A' + B', C' - D' sono equimultiple di
A - B, C +-D; ora B e contenuta, per ipotesi, tante volte
in A' - B', quante volte D e contenuta in C' + D', ma B, D
sono contenute uno stesso numero di volte nelle loro equimultiple B', D', dunque devono essere contenute uno stesso nu