Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

382 -
4a9. Teorema 1~ - Quando quattro grandezze,
tutte omogenee, formano una proporzione, formano
ancora una proporzione se fra loro mutano posto
le medie o le estreme.
Se A: B:: C: D, essendo A,B,C,D tutte omogenee, abbiamo
pure che A: C:: B: D e che D: B:: C: A.
Prendiamo due grandezze A', B' equimultiple di A, B, in
modo che sia A' > C, e fra le successive grandezze multiple
di C, e minori di A', prendiamo la maggiore C', per cui C e
contenuta tante volte in A' quante volte e contenuta in C',
e avremo C' < A' < C' + C. Ora, se D' e multipla di D come
C' e multipla di C, anche D' + D e multipla di D come C' -- C
e multipla di C, e percio A':B':: C': D' e A': B':: C'+ C:D'-D.
Essendo C' < A', deduciamo dalla prima proporzione che D'< B',
ed essendo A' < C' + C, deduciamo dalla seconda che B' < D' t- D
(428, T. 2~), dunque D' < B' < D' + D, e percio vediamo che
D e contenuta tante volte in B', quante volte e contenuta
in D'; ma C, D sono contenute lo stesso numero di volte
nelle loro equimultiple C', D', dunque sono contenute uno
stesso numero di volte anche nelle A', B', ed abbiamo che
A: C:: B: D. Le date grandezze formano ancora una proporzione se mutano posto le medie. Scrivendo la proporzione data
sotto la forma C: D:: A: B (424, C. 20), ne deduciamo, mutando
posto alle medie, che C: A:: D: B, e quindi che D: B:: C: A.
Le date grandezze formano ancora una proporzione se mutano
posto le estreme.
Teorema 2~ - Quando quattro grandezze formano una proporzione, formano ancora una proporzione se fra loro mutano posto ciascuna antecedente e la sua conseguente.
Se A: B:: C: D abbiamo pure che B: A:: D: C.
Prendiamo due grandezze B', D' equimultiple di B, D, in modo
che sia B > A, e fra le successive grandezze multiple di A, e
minori di B', prendiamo la maggiore A', per cui A e contenuta
tante volte in B' quante volte e contenuta in A', e avremo
A' < B' < A' + A. Ora, se C' e multipla di C come A' e mul