Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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sara C > D; e viceversa. Se A = B, non possiamo avere
G ' D, perche sarebbe A: B, dunque deve essere C = D,
e viceversa.
Corollario 1~ - Data la proporzione A: B:: C: D, se A', C sono
equimultiple, o equisummultiple, di A, C, e se B', D' sono equimultiple, o equisummultiple, di B, D, abbiamo che A': B':: C: D'
(427, T. 2~), quindi se A'-B' se ne deduce che C'= D', e viceversa.
Teorema 2~ - Data una proporzione, fra grandezze tutte omogenee, se la prima grandezza 6 maggiore, equivalente o minore, della terza, la seconda
grandezza e maggiore, equivalente o minore, della
quarta, e viceversa.
Data la proporzione A: B:: C: D, fra grandezze tutte omogenee, se A ~ C, se ne deduce che B D, e viceversa.
Se A > C, sappiamo che esiste una grandezza B' multipla
di B, e che esistono due grandezze A', C' equimultiple di A, C,
in modo che sia A' > B' > C' (421, T.). Ora se D' e multipla
di D, come B' e multipla di B, essendo A' > B', ne deduciamo
(428, C. i~) che C' > DY; ma B' > C', dunque B' > D' (342, T. lo)
e B > D (350, T.), (421). Viceversa, se B > D, sappiamo che
esiste una grandezza C' multipla di C, e che esistono due grandezze B', D' equimultiple di B, D, in modo che sia B' > C'> D'.
Ora se A' e multipla di A come C' e multipla di C, essendo
C' > D', ne deduciamo che A' > B'; ma B' > C', dunque
A' > C'e A > C.
Analogamente si dimostra che se A < C e B < D, e viceversa. Se poi A = C, non puo essere B > D, perche sarebbe
A S C, dunque deve essere B = D, e viceversa.
Corollario 20 - Data la proporzione A: B:: C: D, se
A', B' sono equimultiple, o equisummultiple, di A, B, e se Cr,D'
sono equimultiple, o equisummultiple, di C, D, abbiamo che
A': B':: C': D (427, T. 1~), quindi, se A' C', se ne deduce
che B' B D'.