Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 380 -A': B:: C': D. Ora, se B', D' sono equimultiple di B, D, sappiamo che, essendo B, D contenute uno stesso numero di volte
in A', C', anche B', D' sono contenute uno stesso numero di
volte in A', C' (423, T. 20), dunque A: B':: C: D'. Combinando
i due risultati troviamo che A': B':: C': D'.
Se B', D' sono equisummultiple di B, D, ed A", C" sono equimultiple di A, C come B, D lo sono di B', D', si ha che
A": B:: C": D; maA: B':: A: B, C: D':: C:D (426, C. 2),
dunque A: B':: C: D' (426, T. i~).
Se A', C' sono equisummultiple di A, C, e se B", D" sono
equimultiple di B, D come A, C lo sono di A', C', si ha che
A: B":: C: D"; ma A': B:: A: B", C': D:: C: D (426, C. 2~),
dunque A': B:: C': D (426, T. 1~).
Combinando i due risultati troviamo che A': B':: C': D'.
Corollario.- Una grandezza sta ad una sua multipla, o
summultipla, come un'altra grandezza sta alla sua equimultipla, o equisummultipla.
48s. Teorema 1~ - Data una proporzione, se una
grandezza antecedente e maggiore, equivalente o
minore, della sua conseguente, anche l'altra grandezza antecedente e maggiore, equivalente o minore,
della sua conseguente.
Data la proporzione A: B:: C: D, se A c B, se ne deduce
che C < D, e viceversa.
Se A < B, la B non e contenuta in A, quindi nemmeno
la D pub essere contenuta in C, percio C < D; e viceversa.
Se A > B, poniamo A - B + E, e prendiamo una grandezza E' doppia, tripla,.... di E, tale che sia E' > B (421), ed
una grandezza B' pure doppia, tripla,... di B. Se A' =B' — E',
la A' e pure doppia, tripla,.... di A (349, T.), ed evidentemente
B e contenuta in A' piui di due, tre,.... volte, perche e contenuta due, tre,.... volte in B', e almeno una volta in E',
essendo E' > B. Ora, se C' e doppia, tripla,.... di C, anche D
deve essere contenuta pitu di due, tre,.... volte in C', percib