Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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414. Teorema. - I solidi di due cilindri, o di
due coni, sono equivalenti, se il parallelepipedo del
quadrato del raggio della base e dell' altezza di
uno e equivalente al parallelepipedo del quadrato
del raggio della base e dell'altezza dell'altro.
Supponiamo dati due cilindri, e disponiamoli in modo che
due loro basi siano circoli concentrici, e che i cilindri cadano
da una stessa parte rispetto al loro piano. Chiamiamo CC1,
CC, le altezze, CA, CA' i raggi delle basi, e supponiamo che
il parallelepipedo del quadrato di CA e dell'altezza CC, sia
equivalente al parallelepipedo del quadrato di CA' e dell'altezza CC,'. Se CA, CD sono perpendicolari ed incontrano i
circoli base concentrici nei punti A, A' e D, D', in modo che
A', D' siano dalla stessa parte di A, D rispetto a C, avremo
C1ADC C,'A'D'C, perch6 ADC, A'D'C sono ciascuno la meth di
CA2, CA'2, e quindi ciascuno di questi due
tetraedri e il sesto di uno dei due parallelepipedi, che per ipotesi supponiamo
equivalenti. Conducendo da A la retta / i~
AE parallela alla A'C,, se incontra CC, / 7
in E, abbiamo ACC1 A'CE, e quindi '/
C1ADC = EA'DC = CA'D'C; ',, '
percib ECD = C'CD' e le rette ED', C/'D / \
sono parallele. Dai triangoli EA'D', C'AD A' A
si deduce che sono parallele pure le
rette C1/A, EA' (114, T.).
Consideriamo un prisma regolare inscritto nel cilindro la
cui altezza e CC1, e sia AB un lato di un suo poligono base:
evidentemente un lato A'B' di un poligono base di un prisma
regolare che ha lo stesso numero di facce laterali del primo,
ed e inscritto nell'altro cilindro, e parallelo ad AB, e BB' sono
in linea retta con C. Ora dai triangoli EA'B', C1'AB si deduce
subito che sono parallele le rette C,'B, EB', e quindi si vede
che C1ABC =CI'A'B'C, e che un prisma triangolare che ha
per altezza CC, e per base ABC, triplo di CABC, B equivalente ad un prisma triangolare che ha per altezza CC,' e per
base A'B'C, triple di C/'A'B'C; dunque sono equivalenti i