Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 336 -Osserviamo che in virtu del postulato precedente possiamo
ritenere come esistente il limite di ciascuna coppia delle date
variabili convergenti, ed il limite della coppia V, W.
Date piu coppie di variabili convergenti, parlando del limite
della somma delle decrescenti e delle crescenti, intenderemo
sempre di considerare il limite della variabile continuamente
decrescente e della variabile continuamente crescente, i cui
stati successivi sono gli stati successivamente decrescenti della
somma delle variabili decrescenti e gli stati successivamente
crescenti della somma delle variabili crescenti.
Teorema 2~ — Una grandezza somma di altre
grandezze, limiti di variabili convergenti, e limite
della somma di tutte le variabili decrescenti e della
somma di tutte le variabili crescenti.
Supponiamo che si abbia L = L +- L2 +-., e che sia
L1 -- Ulm. (TV, Wi), L2 = li. (V2, W2),......; allora ponendo
V= V + -V2 -....., W W= + W2+ -....., deduciamo
L=lzm.(V, W) (389, T. 1~). Infatti, essendo V > L1, V2 > L,....,
si ha V > L, ed essendo T1 < L,, W2 < L,....., si ha
W < L (346, C. 1i).
Posto cio, possiamo estendere come segue la definizione della
somma di date grandezze (342, D.).
Definizione. - Una grandezza si dice somma di altre grandezze
limiti di variabili convergenti, quando e limite della somma di tutte
quelle decrescenti e della somma di tutte quelle crescenti.
Se la grandezza A e somma delle grandezze B, C, D,.....,
seguiteremo a porre (342) A = B +- C + D -+..., prendendo
arbitrariamente l'ordine delle B, C, D,......
390. Corollarl. - 10 Applicando alle variabili principali
V1, V2,....; WI, W2,..... le proprieta dimostrate per la
somma di date grandezze, intesa nel primitivo senso ristretto
(342, D.), si dimostrano le proprieta stesse per la somma dei
loro limiti Li, L,...., cioe anche per la somma di grandezze
limiti di grandezze principali; cosi possiamo dire: