Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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G.FK- F.HE, in modo che HL, FC, FE, GK stiano da una
stessa parte rispetto al circolo minore FGH, gli archi HL, GK
incontrano l'arco A'iB', di c, in L, K, e si dimostra facilmente
che sono uguali i triangoli sferici HA'L,GKD, che sono uguali
i quadrangoli sferici HLEF, FCKG, e che sono equivalenti i
triangoli sferici A'LE, DKC, perche ciascuno e uguale all'opposto al vertice dell'altro (375, T. 1~), dunque abbiamo diviso
il parallelogrammo e l'angolo sferico in due parti equivalenti
ed in uno stesso numero di parti rispettivamente uguali, percio
ABCD A.BE. Se il primo arco multiplo di BF e maggiore
di BC non fosse 2BF, la costruzione rimarrebbe la stessa, solo
varierebbe il numero delle parti rispettivamente uguali in cui
vengono divisi il parallelogrammo e l'angolo sferico; se BC
fosse multiplo di BF, pure rimarrebbe la stessa costruzione,
solamente non vi sarebbero i quadrangoli sferici HLEF, FCKG
ed i triangoli sferici A'LE, DKC; ma sempre si dedurrebbe
ABCD = A. BE.
Qualunque caso sia verificato, abbiamo sempre A.ED -B.A'C,
quindi A.BD+-B.CA -B.'CA+B.CA+A.BE; ma B.Ai'C+B.CA
e una semisfera, percio A.BE e la differenza tra A.BD + B.CA
ed una semisfera, ossia la meta della differenza tra la somma
dep:li angoli di ABCD ed una sfera, dunque l'angolo sferico
A.BE, equivalente ad ABCD, e la meta del suo eccesso.
Corollario. — Due parallelogrammi sferici, che hanno l'eccesso uguale, sono equivalenti e si possono dividere in uno
stesso numero di triangoli sferici rispettivamente uguali.
a3. Teorema. - Un triangolo sferico e equivalente alla meta del suo eccesso.
Sia ABC un triangolo sferico, sia c il circolo minore della
sua sfera a che passa per il vertice C e per i punti A', B'
opposti agli altri due vertici A, B, e sia c' il circolo minore
di a che passa per i vertici A, B e per il punto C' opposto
all'altro vertice C. Chiamiamo E il punto medio di quell'arco