Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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AB > OA. La piramide F.ABCDE ha cinque facce laterali,
che sono triangoli equilateri uguali, ed ha uguali tutti i
diedri, i cui spigoli passano per il vertice F, poiche sono
diedri di triedri uguali, perche hanno uguali le facce. Ora
costruiamo altre due piramidi uguali alla precedente, e disponiamole come le A.BFEGH, B.CFAHK; avremo cosi
una figura composta da dieci triangoli equilateri uguali.
L'esagono gobbo CDEGHK ha i lati tutti uguali al segmento
dato. Evidentemente D.ECG _ K.CH G.HE, poiche ciascuno
di questi angoli e angolo di un pentagono regolare; di piu
questi tre angoli sono uguali agli altri tre E.GD, C.DK, H.KG,
infatti si vede subito che uno di questi angoli E.GD e uguale
all'angolo A.BE di un pentagono regolare. Se costruiamo
un'altra figura uguale a quella costruita, abbiamo un altro
esagono gobbo, che si pub far coincidere col primo, in modo
che non coincidano le due figure. Costruiamo cosi un icosaedro
regolare.
Corollario. - Abbiamo costruito cinque poliedri regolari:
il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, ii dodecaedro e l'icosaedro.
Il tetraedro regolare ha 4 facce, che sono triangoli equilateri,
4 vertici e 6 spigoli; il cubo ha 6 facce, che sono quadrati,
8 vertici e 12 spigoli; l'ottaedro regolare ha 8 facce, che sono
triangoli equilateri, 6 vertici e 12 spigoli; il dodecaedro regolare
ha 12 facce, che sono pentagoni regolari, 20 vertici e 30 spigoli; l'icosaedro regolare ha 20 facce, che sono triangoli equilateri, 12 vertici e 30 spigoli (218, T. 10).
333. Teorema. - Esistono solamente cinque specie
di poliedri regolari: i tetraedri, i cubi, gli ottaedri,
i dodecaedri e gl'icosaedri.
Dato un poliedro regolare, la somma delle facce di ciascuno
dei suoi angoloidi deve essere minore di quattro retti, quindi,
se queste facce sono triangoli equilateri, per un vertice
ne passeranno o tre, o quattro, o cinque. Nel primo caso e
evidente che si hanno necessariamente quattro vertici, ed il
poliedro regolare e un tetraedro; nel secondo caso si ha un
ottaedro regolare, nel terzo un icosaedro regolare.