Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Definizione.- 6a La sezione media di una piramide, o tronco di
piramide, regolare, e quella fatta dal piano che contiene i punti mnedi
degli spigoli laterali.
330. Definizioni. - la Se un poliedro ha i vertici sopra una sfera
data, si dice in essa inscritto, e se una sfera passa per i vertici di un
poliedro, si dice ad esso circoscritta (291, D.).
2 Ii raggio di un poliedro inscritto e quello della sfera circoscritta.
Quattro punti di una sfera, non situati sopra uno stesso
piano, sono sempre vertici di un tetraedro inscritto; preso un
tetraedro, possiamo sempre costruire una sfera ad esso circoscritta (291, T.).
3a Se un poliedro ha i suoi piani tangenti ad una sfera data, si dice
ad essa circoscritto, e se una sfera tocca i piani di un poliedro, si dice
in esso inscritta (293, D. la, 2a).
4a L'apotema di un poliedro circoscritto e il raggio della sfera inscritta.
Quattro piani tangenti di una sfera, tali che due qualunque
non siano paralleli e tutti non passino per uno stesso punto,
sono piani di un tetraedro circoscritto; preso un tetraedro,
possiamo sempre costruire otto sfere in esso inscritte (293, T.).
331. Definizione. - Diremo regolare ogni poliedro convesso che
ha per facce tutti i poligoni regolari uguali, e che ha tutti gli angoloidi
uguali.
Un tetraedro equispigolo ed un cubo sono poliedri regolari.
Teorema 1 - Si puo sempre circoscrivere ed
inscrivere una sfera ad un dato poliedro regolare.
Sia ABCDE una faccia di un poliedro regolare, e siano
ABC'D'E', A"B"CDE" altre due facce, che abbiano con essa
comuni i lati AB, CD, che sono due spigoli del poliedro. Se
0, 0', 0" sono i centri di queste facce (324, C. 1~), e se F, G
sono i punti medi degli spigoli AB, CD, le rette OF, O'F
sono perpendicolari ad AB, e le rette OG, O"GC sono perpendicolari a CD, quindi F.OO' — G.OO", come sezioni normali
dei due diedri uguali, che hanno per spigoli le rette AB,CD.
Siano SO, SO' le perpendicolari ai piani di ABCDE, ABC'D'E'