Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Siano DE =- EF - FG — G H quattro lati consecutivi di un
poligono regolare. Essendo convessi i suoi angoli E.DF - F.EG,
le loro bisettrici EC, FC formano con EF gli angoli acuti
E.F(C F.EC,e quindi s'incontrano in un punto C (113, C.2~). Ora.-k^C^ G abbiamo EC- FC, ed essendo uguali i triangoliEFC, FGC, perche EF =FG, EC -FC,
[-L., / - mentre sono uguali gli angoli compresi,
E' Kl-,' y Xn ne segue che FC _ GC e F.EC- G.FC,
dunque EC = FC GC e GC e la bisettrice di G.FH. Proseguendo, arriviamo
ii - a dimostrare che tutti i segmenti, che
hanno un estremo in un vertice del poligono e l'altro in C,
sono uguali fra loro, e che percio il poligono e inscritto al
circolo c, descritto nel suo piano col centro in C e col raggio CE.
Essendo poi uguali tutte le corde DE, EF, FG, GH...... di c,,
le loro distanze CK, CL, CM, CN,..... da C sono pure uguali
(222, T. 1~), dunque il circolo c2, descritto nel piano del poligono col centro in C e col raggio CK, e inscritto nel poligono,
e tocca i suoi lati nei punti K, L, M, N.....
Corollario. - 1i Le bisettrici degli angoli di un poligono
regolare, e le rette perpendicolari ai lati nei loro punti medl,
passano tutte per uno stesso punto, che e il centro del circolo
circoscritto e del circolo inscritto al poligono. Ogni poligono
regolare ha un raggio, un apotema ed un centro (75, D. 2a).
Teorema 2~ — Se piu punti dividono un circolo
in archi uguali sono vertici di un poligono regolare
inscritto, e le tangenti al circolo nei punti di divisione sono rette di un poligono regolare circoscritto.
Questo teorema si dimostra subito osservando che se K, L,
M, N,.... sono punti consecutivi, che dividono in archi uguali
un circolo c2, col centro C, facendo scorrere su se stesso
il piano di c2, rotando intorno a C come centro, quando K
viene in L, ciascun altro punto L, M,.... viene nel consecutivo
M, N....., e le tangenti nei punti K, L, M..... vengono a coincidere con le tangenti nei punti consecutivi L, M, N.....
Corollar. - 20 Inscrivere o circoscrivere ad un dato