Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

256 -31S. Dai corollari precedenti deduciamo che un triangolo'
sferico e individuato, quando si conoscono:
1~ Due lati e l'angolo compreso,
20 Due angoli ed il lato comune,
3~ I tre lati,
40 I tre angoli.
In ciascuno di questi casi e facile costruire il triangolo
sferico.
a19. Teorema. Se sopra una sfera consideriamo
tutti i triangoli sferici, che hanno un lato comune
ed uguale la differenza tra la somma degli angoli
adiacenti e l'angolo opposto, il suo vertice descrive
due circoli minori, che passano per gli estremi del
lato comune... e Sopra una sfera 6 sia AB il lato comune a;,< > ~tutti i triangoli ABC, che si considerano,
X Yp, \c\ sia c il circolo minore, che passa per A,B,C,
'I / s\ ) e sia P quello dei suoi poll, centro sferico,
che sta rispetto a c dalla stessa parte dei
Al/s^ j^^\ lati di ABC. Dobbiamo considerare separatap o' mente due casi, perche P, C possono essere
da una stessa parte di AB, o in parti opposte.
c' Nel primo caso abbiamo:
A.BC +B.CA-C.AB-A.BP+A.PC+B.CP+B.PA-C.AP-C.PB,
ed essendo isosceli i triangoli ABP, BCP, CAP, deduciamo:
A.BC + B.CA-C.AB A.BP - B.PA;
nel secondo caso abbiamo:
C.AB-A.BC —B.CAC.AP+C.PB tA.PB-A.PC+B.PA —B.PC
e deduciamo:
C.AB- A.BC -B.CA A.PB + B.PA,
dunque in ambidue i casi la differenza tra la somma degli
angoli adiacenti al lato comune AB e l'angolo opposto e il
doppio dell'angolo sferico A.PB. Ne segue che, movendosi C sul
circolo c, evidentemente la detta differenza non cambia, e
quindi tutti i punti di c appartengono al luogo cercato. Ora