Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Avendo supposto C'M', CN, deduciamo subito C'M' < C'C+CN,
ovvero C'M' < C'N, quindi vediamo che M' e un punto di
C'N. Ora deve essere verificato uno dei tre casi C'Mr'C'C;
se C'M > C'C, il punto M' dovendo essere un punto di C'N e
un punto del segmento CN, se C'M' C'C, il punto M' coincide
con -C; se C'M' < C'C, dalla condizione CC' < NC + M'C' deduciamo NC > CC' - M'C', ossia NC > CM', per cui vediamo
che CM' e minore del raggio di c: riassumendo possiamo dire
che in ogni caso M' e interno rispetto a c. Avendo dimostrato
che c' ha due punti M', N', uno interno e l'altro esterno
rispetto a c, possiamo dire che c, c' hanno due punti comuni
A, B (89, C. 1~), e due soli, poiche, se ne avessero tre, sarebbero vertici di un triangolo (220, T. 3~) e C, C' sarebbero. due
punti distinti equidistanti da essi, il che e assurdo (131, T. 1).
Corollarl. - 30 Essendo C, C' equidistanti da A, B, la
retta CC' e perpendicolare ad AB nel suo punto medio
(125, C. 1~), cioe: due punti comuni a due circoli, di uno
stesso piano, sono simmetrici rispetto alla retta che unisce i
loro centri.
4~ Anche i teoremi inversi dei tre precedenti sono veri.
50 Quando in un piano due circoli hanno due punti comuni, movendoci sopra un circolo possiamo passare da un
lato all'altro di uno di essi passando da un lato all'altro dell'altro circolo, il che abbiamo espresso con altre parole, dicendo cioe: i circoli si segano nei due punti comuni (21, D. la).
Quando in un piano due circoli hanno un solo punto comune,
tutti gli altri punti di ciascuno sono tutti interni o tutti esterni
all'altro, quindi le due linee nel punto comune s'incontrano
senza segarsi.
Definizioni. i- Due circoli di uno stesso piano sono tangenti in
Un punto comune, quando s'incontrano solamente in esso. Si dice pure
che i due circoli tangenti si toccano nel punto comune, che viene chia,
mato il punto di contatto.
2a Un circolo tocca un altro circolo internamente o esternamente
in un suo punto, secondoche ha tutti gli altri punti interni o esterni
rispetto all'altro circolo.
~30. Corollarl.- 1~ In un piano vi sono infiniti circoli
che toccano un circolo dato in un punto dato, e tutti si tocG
cano in esso.