Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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dei piani e dei vertici e uguale alla diminuzione del numero
degli spigoli. Proseguendo a togliere successivamente altri
piani, si vede che sempre la somma del numero dei piani e
dei vertici diminuisce come il numero degli spigoli, e quindi
la differenza di questi numeri e sempre la stessa. Sappiamo
poi che questa differenza appena tolto il primo piano era uguale
alla somma del numero dei piani del poliedro e del numero
dei vertici meno uno, meno il numero degli spigoli, ed arrivati
ad un solo piano la differenza stessa e uno, perche si ha un
piano e lo stesso numero di vertici e di spigoli, che sono i
vertici e gli spigoli del poligono situato in quel piano, dunque
il numero dei piani, piui quello dei vertici, meno uno, meno
il numero degli spigoli, e uguale ad uno, ossia il numero dei
piani piui il numero dei vertici, meno il numero degli spigoli,
e sempre uguale a due.
Teorema 2~ - La somma degli angoli dei poligoni di un poliedro convesso, e uguale a tante volte
quattro angoli retti, quanti sono i vertici del poliedro
meno due.
La somma degli angoli di ciascun poligono di un dato poliedro e tante volte due angoli retti quanti sono i lati meno
due (139, T. 1~), quindi la somma degli angoli di tutti i poligoni del poliedro, che sono tanti quanti sono i suoi piani, e
tante volte due retti quanti sono tutti i lati dei poligoni meno
due volte il numero dei piani del poliedro; ora ogni lato di
un poligono e uno spigolo del poliedro, ma essendo comune
a due poligoni il numero di tutti i lati dei poligoni e due volte
il numero degli spigoli, percio la somma degli angoli di tutti
i poligoni si trova moltiplicando due retti per il doppio del
numero degli spigoli, meno il doppio del numero dei piani del
poliedro. Dal teorema precedente si deduce che il numero
degli spigoli, meno il numero dei piani del poliedro, e uguale
al numero dei vertici meno due, dunque la somma cercata e
tante volte quattro retti, quanti sono i vertici meno due.