Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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2i'. Definizioni. - 1 Due piani di un poliedro convesso, i quali
si seghino secondo una delle sue rette, formano quattro diedri, uno dei
quali contiene tutti i punti interni al poliedro, e si dice diedro interno,
o piu semplicemente uno dei suoi diedri.
2a I piani di un poliedro convesso, che passano per uno stesso vertice, si seguono in un ordine determinato, in modo che due consecutivi
abbiano comune uno stesso spigolo, quindi formano due angoloidi opposti
al vertice, uno dei quali contiene tutti i punti interni al poliedro, e si
dice angoloide interno, o piu semplicemente uno dei suoi angoloidi.
Il numero dei diedri di un poliedro e uguale a quello degli
spigoli, e il numero dei suoi angoloidi e uguale a quello dei
vertici.
Se possiamo far corrispondere gli elementi di due poliedri
convessi (214), sono corrispondenti i diedri i cui spigoli sono
rette corrispondenti, e gli angoloidi i cui vertici sono vertici
corrispondenti dei due poliedri.
zls. Teorema 1~ - Dato un poliedro qualunque,
il numero dei suoi piani, piu il numero dei vertici,
meno il numero degli spigoli, e uguale a due.
Immaginiamo un poliedro qualunque, e togliamo successivamente ciascuno dei suoi piani. E chiaro che toglieremo uno
spigolo quando avremo tolto i due piani che lo contengono, e
toglieremo un vertice quando avremo tolto tutti i piani che
lo contengono. Tolto un piano del poliedro, rimane una figura
che ha un piano di meno, lo stesso numero di vertici e di
spigoli; togliendo ancora un altro piano, il numero dei vertici
rimane lo stesso, quello degli spigoli diminuisce di uno, quindi
diminuisce ugualmente la somma del numero dei piani e dei
vertici e il numero degli spigoli; togliendo un altro piano, se
il suo poligono ha 1, 2, 3, 4,..... lati comuni coi poligoni dei
due piani gia tolti, ha con essi comuni 0, 1, 2, 3,.... vertici,
quindi il numero dei piani diminuisce ancora di 1, quello dei
vertici di 0, 1, 2, 3....., quello degli spigoli di 1, 2, 3, 4....., ed
anche in questo caso la diminuzione della somma del numero