Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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un punto la cui distanza da P e il terzo della distanza da A;
ma questo punto e necessariamente il punto E, dunque tutte
le mediane passano per E.
Corollari. - 1~ La distanza del punto comune alle mediane da un vertice del tetraedro e tripla della sua distanza
dal punto comune alle mediane della faccia opposta.
20 Per il punto E passano i sei piani ADF, ACH, ABG,
BCN, CDL, DBM, la retta comune ai piani BCN, ADF, che contengono due spigoli opposti BC, AD, e quella FN, che congiunge i loro punti medi e passa necessariamente per il punto
E, che viene ad essere comune alle FN, GL, HM.
Per il punto comune alle mediane di un tetraedro passano
i sei piani determinati da ciascuno spigolo col punto medio
dello spigolo opposto, e passano le tre rette che uniscono i
punti medi degli spigoli opposti.
191. Problema. - Costruire un tetraedro, i cui spigoli
siano tutti uguali ad un segmento dato.
Costruiamo (109, C. 1~) un triangolo BCD, i cui lati siano
AH
tutti uguali al segmento dato HK, e chiamiamo 0 il punto
comune alle sue altezze BE, CF, DG (132, T.).
Essendo il triangolo BCD equilatero, abbiamo BE - CF -DG
e BO CO =DO; ma BE < BC, quindi anche BO < BC, e
BO, CO, DO sono segmenti uguali e minori del segmento dato
HK. Posto cio possiamo costruire un triangolo rettangolo
HKL (100, C.), la cui ipotenusa sia HK, ed abbia un cateto
HL - BO. Sulla retta perpendicolare in 0 al piano di BCD
prendiamo, da una parte del piano, un segmento OA uguale
all'altro cateto KL. I triangoli OAB, OAC, OAD sono tutti
uguali ad HKL, quindi AB - AC -= AD - HK, e tutti gli spigoli
del tetraedro ABCD sono uguali al segmento dato.