Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Teorema 2~ -- Vi sono otto punti soli equidistanti
dai piani di un tetraedro.
I piani EBC, ECD, EDB, bisettori dei diedri interni fAD,
g.AB, h.AC del tetraedro ABCD, s'incontrano necessariamente
in un punto E, ed uno solo, che, essendo
equidistante da a, b, da a, P, e da a, T
z ( i (125, T. 3~), e equidistante dai quattro piani
a, 1, y, b del tetraedro. Naturalmente
R-...... -... per E passano anche i piani EAB, EAC,
f <>^^ EAD bisettori dei rimanenti diedri interni
c I.CD, m.DB, -n.BC.
Se poi prendiamo il punto A1 comune ai piani ABC, A1CD,
A1DB bisettori di tre diedri esterni (tC'D, g.D'B, h.B'C, formati
da uno dei piani a del tetraedro
|Is 'con gli altri tre P, r, b, anche A1
equidistante da a, P, y, b, e.B per esso passano i piani bisettori
- i i\\^\ A AB, A1AC, A AD dei tre diedri
interni f.AD, g.AB, h.AC formati
da P, y, b: di punti analoghi ad
Y/ I \ A y ve ne sono evidentemente
/D 6 quattro A1, B1, Cj, D1, uno per
ogni piano a, Y, y, b.
Finalmente anche il punto P comune ai piani PBC, PCA,
PAB bisettori dei due diedri esterni m.BD', fAD" e dell'in'. terno 1.CD, formati da un piano b cogli
altri tre, e equidistante da a, P, T, b e per
hA esso passano i piani PAD, PBD, PDA bisettori dei due diedri esterni n.BC', h.AC"
3 / ''\j e dell'interno g.AB, formati dal piano T coi
rimanenti: di punti analoghi a P ve ne
'\ 2 g sono tre, P, Q, R, uno per ogni coppia di
s, ~ spigoli opposti AB, CD; AC, BD; AD, BC.
y l~ E poi facile vedere che ogni punto equidistante dai quattro piani a, P, T, b deve
essere comune a sei piani bisettori dei loro diedri, e coincidere con uno degli otto trovati.