Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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ISS. Definizioni. - la Due rette di un tetraedro le diremo opposte,
quando non passano per uno stesso vertice.
2a Due spigoli di un tetraedro li diremo opposti, quando appartengono a rette opposte.
3a Due diedri interni, o esterni, di un tetraedro li diremo opposti,
quando i loro spigoli sono rette opposte del tetraedro.
4a Ogni vertice di un tetraedro e opposto al piano ed alla faccia
che non lo contiene.
Le sei rette del tetraedro si dividono in tre coppie di rette
opposte f, n; g, 1; h, n, ed i sei spigoli si dividono in tre
coppie di spigoli opposti BC, AD; CD, AB; DB, AC.
Due diedri interni opposti sono, per esempio, f:AD, n.BC; due
diedri opposti, uno interno e l'altro esterno, sono, per esempio,.AD', n.BC.
I vertici A, B, C, D sono rispettivamente opposti ai piani
a, B, Y, b ed alle facce BCD, CDA, DAB, ABC.
Is9. Teorema 1~ - Esiste un punto, ed uno solo,
equidistante dai vertici di un tetraedro.
Siano F, G, H, L, M, N i punti medi degli spigoli BC, CD,
DB, AB, AC, AD di un tetraedro ABCD. I tre piani perpendicolari alle rette 1, m, n, nei punti L, M, N, devono avere
un punto comune E, ed uno solo, infatti non possono passare
per una stessa retta, poiche allora AB, AC, AD sarebbero in
uno stesso piano perpendicolare ad essa, cio che e impossibile
non essendo per ipotesi A, B, C, D punti di uno stesso piano,
e due qualunque non possono essere paralleli, poiche allora
sarebbero parallele due delle rette AB, AC, A
AD, mentre passano per uno stesso punto A.
Ora il punto E, appartenendo ai tre piani / I
perpendicolari ai segmenti AB, AC, AD
nei loro punti medi, e equidistante da A, B, -
da A, C, da A, D (125, T. i~), e quindi dai
vertici A, B, C, D. Oltre al punto E non "P
ve ne sono altri equidistanti dai vertici, c
poiche un punto tale, dovendo essere comune ai tre piani di
cui abbiamo parlato, deve coincidere con E. Per E passano
anche i piani perpendicolari alle rette f, g, h nei punti F, G, H.
Corollario. - 1~ I sei piani perpendicolari agli spigoli di
un tetraedro, nei loro punti medi, passano per uno stesso punto.