Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 146 -

1l9. Definizione. - Due angoloidi si dicono opposti al vertice, o
semplicemente opposti, quando gli spigoli di ciascuno sono i prolungamenti degli spigoli dell'altro.
Due angoloidi opposti al vertice hanno le facce uguali, perche
sono angoli due a due opposti al vertice, ed hanno i diedri
uguali, perche sono due a due opposti allo spigolo.
iso. Teorema 1~ — In ogni angoloide convesso
un diedro qualunque, aumentato di tante volte due
diedri retti quanti sono gli spigoli meno due, e maggiore della somma di tutti gli altri.
~p ~ Dato un angoloide convesso P.ABCDE, le
cui rette siano a, b, c, d, e, un suo spigolo
PA, insieme a tutte le coppie PB, PC; PC,
A, PD; PD, PE di due spigoli consecutivi rima< T —1 V nenti, determina tanti triedri P.ABC, P.BCD,
* ^ d P.CDE, quanti sono gli spigoli meno due.
6 e Ora
a.BC + a.CD + a.DE - a.BE, e
b.AC + c.AB + c.AD -- d.AC + d.AE + e.AD -
b.AC + c.BD + d.CE + e.DA;
ma in ogni triedro P.ABC, P.ACD, P.ADE ciascuno dei diedri
collo spigolo PA aumentato di due diedri retti e minore della
somma degli altri due, dunque il diedro a.BE, dell'angoloide
dato, aumentato di tante volte due diedri retti, quanti sono
gli spigoli meno due, e minore della somma di tutti gli altri.
Teorema 2~ - In ogni angoloide convesso la
somma dei diedri e minore di tante volte due diedri
retti quanti sono gli spigoli, ed e maggiore di tante
volte due diedri retti quanti sono gli spigoli meno due.