Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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is. Teorema 1~ - Una faccia di un angoloide,
qualunque, e minore della somma di tutte le altre.

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Sia dato un angoloide P.ABCDE, una
qualunque delle sue facce P.AE e minore
della somma di tutte le altre. I triedri
P.ABC, P.ACD, P.ADE ci danno (158, T. 1~)
P.AC < P.AB — P.BC,
P.AD < P.AC + P.CD,
P.AE < P.AD i- P.DE,
quindi

P.AC+P.AD-+P.AE<P.AC+P.AD+P.AB -P.BC-+P.CD+P.DE,
da cui si ricava
P.AE < P.AB + P.BC + P.CD + P.DE,
cioe la relazione che si voleva dimostrare.
Teorema 2~ - La somma delle facce di un angoloide convesso e minore di quattro retti.
L'angoloide convesso dato sia P.ABCDE. Due suoi piani
APB, CPD, consecutivi ad uno stesso piano BPC, s'incontrano
secondo una retta PF, e P.AFDE e un nuovo angoloide convesso' con una faccia di meno di quello dato. Ora nel triedro
P.BFC si ha P.BC < P.BF + P.CF, quindi la somma delle facce
del nuovo angoloide e maggiore della somma delle facce dell'angoloide dato. Dall'angoloide P.AFDE si puo passare analogamente ad un altro, ancora convesso, che abbia due facce
di meno di quello dato, e sia tale che la somma di tutte le
sue facce sia minore della somma delle facce di quello dato.
Proseguendo in questo modo arriviamo ad un triedro, la cui
somma delle facce e minore di quattro retti (158, T. 20), ed
e maggiore della somma delle facce dell'angoloide dato, la
quale per conseguenza deve pure essere minore di quattro
retti.