Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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di triangoli BPC, B'P'C'; CPA, C'P'A'; APB, A'P'B' sono riA.A'
z 6 Z
6
spettivamente uguali, avendo i triangoli di ciascuna uguali
due lati e l'angolo compreso, dunque BC _ B'C', CA _ C'A'
AB - A'B', e i triangoli ABC, A'B'C' sono uguali. Ora nei piani
delle facce P.BA, P.CA. tiriamo le rette PL, PM perpendicolari
ad a, e nei piani delle facce P'.B'A', P'.C'A' tiriamo le rette
P'L', P'M' perpendicolari ad a'. Siccome gli angoli A.BP, A.CP
e gli angoli A'.B'P', A'.C'P' sono acuti, perche sono isosceli i
triangoli BAP, CAP, B'A'P', C'A'P', le rette PL, P'L' devono
incontrare le rette BA, B'A' in punti che chiameremo L, L',
e le rette PM, P'M' devono incontrare le rette CA, C'A' in
punti che chiameremo M, M'.
I triangoli LPA, L'P'A' sono rettangoli ed uguali, perche
sono uguali i cateti PA, P'A' e perche A.BP A'.B'P', dunque
AL -A'L', PL - P'L'. Analogamente si dimostra che AM _ A'M,
PM P'M', quindi sono uguali i triangoli ALM, A'L'M', percio
LM L'M', e sono uguali i triangoli PLM, P'L'M', quindi
P.LM P'.L'M'; ma P.LM, P.L'M' sono le sezioni normali dei
diedri a.BC, a.BC', dunque a.BC a'.B'C' e P.ABC P'.A'B'C',
avendo questi due triedri uguali, e similmente disposte, due
facce e il diedro compreso (165, T. 1~).
Teorema 2~ - Due triedri sono uguali, se hanno
uguali, e similmente disposti, tutti i loro diedri.
Questo teorema si dimostra immediatamente come conseguenza del precedente.
Se sono uguali i diedri di P.ABC, P'.A'B'C', e se i loro
elementi corrispondenti sono similmente disposti, devono essere
uguali le facce dei triedri supplementari P.A.B.C, P'.A'iB'1C'r,
quindi deve essere P.AB1C - P'.A'IB'GC'1 (166, T. 1~), e perci6
P.ABC = P'.A'B'C' (164).