Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

2 -6a Due proposizioni si dicono inverse, quando ciascuna si deduce dall'altra scambiando l'ipotesi e la tesi; reciproche, quando ciascuna e conseguenza dell'altra; incompatibili, quando non possono essere vere contemporaneamente; contradittorie, quando ciascuna e la negazione dell'altra
(N. IV).
7a Le proposizioni che e impossibile non ammettere, essendo evidenti
per se stesse, si dicono assiomi; quelle che conveniamo di ammettere,
affinch6 una certa cosa sia data, si diconopostulati; quelle che si deducono come conseguenze necessarie degli assiomi e dei postulati, si dicono
teoremi (N. V).
8a La dimostrazione di un teorema 6 il ragionamento, che si fa per
dedurre la tesi dalla ipotesi.
9a Le conseguenze immediate, che si possono dedurre da una o pifu
proposizioni, si chiamano corollarl (N. VI).
i0a Risolvere un problema significa dare una o piu cose, soluzioni
del problema, quando si conoscano i rapporti che debbono avere con altre
cose cognite, dati del problema.
lla Un problema e determinate, se ammette un numero finito di soluzioni, se ne ammette infinite e indeterminato, se non ne ammette alcuna
e impossibile.
12a Se un problema determinato ammette 1, 2, 3... soluzioni, dicesi
di lo, 20, 30... grado.
13a Due problemi, necessariamente dello stesso grado, si dicono reciproci, quando le soluzioni di uno danno tutte le soluzioni dell'altro, e
viceversa (N. VII).
I varl metodi escogitati per guidare nella ricerca e nella
dimostrazione dei teoremi, come pure nella risoluzione dei
problemi, si riducono ai tre seguenti:
1~ Analisi. - I metodo analitico, per la dimostrazione
di un teorema, consiste nel trovarne un secondo, di cui il
primo sia conseguenza, poi un terzo, di cui sia conseguenza
il secondo, e cosi di seguito, finche si giunga ad una proposizione gia stabilita, dalla cui verith discende naturalmente la
dimostrazione del teorema dato.
I1 metodo analitico e essenzialmente di riduzione.
La scelta dei successivi teoremi e arbitraria, purche da
ciascuno si deduca il precedente: ne segue che il metodo analitico e semplicemente un aiuto, potendo accadere, secondo la
maggiore o minore attitudine individuale, che venga indefi