Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE III.

77

A
Par les points de division de AB, menons des paralleles a BC, et par les points 7n, n, E, p, des paralleles a AB.
Tous les triangles Aqm, n, etc., sont egaux comme
ayant un cote egal adjacent 'a deux angles egaux. En effet,
si lon compare les deux triangles mrln, nsE, par exemple,
on voit que les angles mrn, nsE sont egaux comme ayant
leurs cotes paralleles; de meme rmn, snE, sont egaux comme
correspondants; enfin les cotes mr, ns, sont egaux entre
eux, comme etant respectivement egaux aux droites qt, Di.
L'egalite de ces triangles prouve que Am —nzmn=nEEp=pC; or, AE renferme 3 de ces parties, et EC en
contient deux; donc AE: EC:: 32.
On conclut de la AD: DB:: AE: EC.
Si les lignes AD et DB n'avaientpas de commune mesure,
on ferait voir comme il a ete indique (liv. 2, pr. I8), que
leur rapport serait toujours egal a celui des lignes AE, EC.
Corollaire Jer. De la resulte componendo
AD:AD+- DB::AE: AE + AC ou AD: AB:: AE: AC
et aussi
AD-+DB- D B::: AE EC:EC ou AB:DB:: AC: EC.
II. Les segments des deux droites AB, CD, determi- fig. I5.
nes par plusieurs paralleles AC, EF, GH, BD, etc., sont
proportionnels.
Car soit O le point de concours des droites AB, CD,
dans le triangle OEF, la ligne AC etant parallele a la base
EF, on aura:
OE: OF:: AE: CF.
Dans le triangle OGH, on aura semblablement: