Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

60

GEOMIETRIE.

Portons lB sur CD, et supposons qu'on ait CD ~IB
+ KD: on prouvera, comme precedemment, que la plus
grande commune mesure entre CD et IB est la meme
qu'entre IB et KD.
Portons encore KD sur IB, et supposons qu'on ait
IB -2KD; KD sera la plus grande commune mesure des
deux lignes AB et CD.
On de'duit d'ailleurs des egalites ci-dessus:
CD- 3.KD
et AB=8.KD;
done le rapport des deux lignes AB et CD est 8-3
Remarque. Nous avons suppose ci-dessus qu'on arrivait
dans cette serie d'operations a un reste egal a zero. Nous
allons prouver qu'il en est toujours ainsi, quand les deux
lignes ont une commune mesure; et que, dans le cas ou
elles sont incommensurables, on arrive i des restes plus
petits que toute grandeur assignable.
En effet, soient A, B, les deux lignes sur lesquelles on
opere; r r2 r3 r r5... les restes successifs;q, q, q, q....
les quotients, on aura les egalites:
A B qI -t rI
B = r, q2 r,
r -r2 q3 + r3
= r3 q4 + r4
Or, r, est plus petit que -; car, si B n'est contenu
qu'une fois dans A, B sera plus grand que A; le reste
A
sera done plus petit que -; et si B est contenu plusieurs
fois dans A, cela aura lieu a plus forte raison. On aurait
de nime: