Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

I IVRE v I II,

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Nous repeterons ici que nous entendons par surface convexe une surface qui ne peut etre rencontree
par une ligne droite en plus de deux points: et cependant il est possible qu'une ligne droite s'applique
exactement dans un certain sens sur une surface
convexe; on en voit des exemples dans les surfaces
du cone et du cylindre. Nous observerons aussi que
la denomination de surface convexe n'est pas bornee
aux seules surfaces courbes; elle comprend les surfaces poiyedrales ou composees de plusieurs plans,
et aussi les surfaces en partie courbes, en partie polyedrales.
Cela pose, si la surface OABCD n'est pas plus
petite que toutes celles qui l'enveloppent, soit parmi
celles-ci PABCD la surface la plus petite qui sera an
plus egale a OABCD. Par un point quelconque 0,
faites passer un plan qui touche la surface OABCD
sans la couper; ce plan rencontrera la surface PABCD,
et la partie qu'il en retranchera sera plus grande que
le plan termine a la meme surface: donc, en con-,lem. I
servant le reste de la surface PABCD, on pourrait
substituer le plan a la partie retranchee, et on aurait
une nouvelle surface qui envelopperait toujours la surface OABCD, et qui serait plus petite que PABCD.
Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothese; done cette hypothese ne saurait subsister, done
Ba surface convexe OABCD est plus petite que toute
autre surface qui envelopperait OABCD, et qui serait
terminee au meme contour ABCD.
Scholie. Par un raisonnement entierement semblable
on prouvera,
Io Que, si une surface convexe terminee par deux fig 2s6.
contours ABC, DEF, est enveloppee par une autre
surface quelconque terminee aux memes contours,
la surface enveloppee sera la plus petite des denux
iHG