Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE VII. 237
angles de triangles equilateraux: il faut done chercher par
le probleme citd l'angle que deux de ces plans font entre
eux, cet angle sera I'inclinaison de deux faces adjacentes
dn tetraedre.
Dans l'hexae'dre. L'angle de deux faces adjacentes est un fig. 244.
angle droit.
Dans l'octaedre. Formez un angle solide avec deux an- fig. 24.
gles de triangles equilateraux et un angle droit; l'inclinaison des deux plans ou sont les angles des triangles sera
celle de deux faces adjacentes de l'octacdre.
Dans le dodtecaedre. Chaque angle solide est forme avec fig. 246.
trois angles de pentagones reguliers; ainsi l'inclinaison des
plans de deux de ces angles sera celle de deux faces adjacentes du dodecadre. -
Dans l'icosadlre. Formez un angle solide avec deux an- fig. 247.
gles de triangles equilateraux et un angle de pentagone regulier, l'inclinaison des deux plans ou sont ]es angles des
triangles sera celle de deux faces adjacentes de l'icosaedre.
PROPOSITION IV.
P RO B L B ME.
Ltanzt donan le edote d'ln polyedre reg'uier, trouver le
rayon de la sphere inscrite et celui dle la sphere circonscrite au polyedre.
I1 faut d'abord demontrer que tout polyedre rgulier peut fig. 248.
etre inscrit dans la sphere, et qu'il peut lui etre circonscrit.
Soit AB le c6te commun a deux faces adjacentes; soient
C et E les centres de ces deux faces, et CD, ED, les perpendiculaires abaissees de ces centres sur le c6te commun AB,
lesquelles tomberont au point D, milieu de ce cote. Les deux
perpendiculaires CD, DE, font entre elles un angle connu,
qui est egal a l'inclinaison de deux faces adjacentes, determinee par le prohleme precedent. Or si, dans le plan CDE,
perpendiculaire a AB, on mene sur CD et ED les perpendiculaires indefinies CO et EO, qui se rencontrent en 0,je
dis que le point O sera le centre de la sphere inscrite et
celui de la sphere circonscrite; le rayon de la premniere
ttant OC, et celui de la seconde OA.