Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

234 GEoME TR I E.
joignez ensuite SA, SB, TA, etc., vous aurez un solide
SABCDT, compose de deux pyramides quadrangulaires
SABCD, TABCD, adossees par leur base commune ABCD
ce solide sera l'octaedre regulier demande.
En effet, le triangle AOS est rectangle en 0, ainsi que Ie
triangle AOD; les cotes AO, OS, OD, sont egaux; done
ces triangles sont egaux, done AS= AD. On demontrera
de merme que tons les autres triangles rectangles AOT, BOS
COT, etc.,sont egaux au triangle AOD; donc tous les
cotes AB, AS, AT, etc. sont egaux entre eux, et par consequent le solide SABCDT est compris sous huit triangles
egaux au triangle equilateral donne ABM1. Je dis de plus que
les angles solides du polyedre sont egaux entre eux: par
exemple, l'angle S est egal a l'angle B.
Car il est visible que le triangle SAC est egal au triangle
DAC, et qu'ainsi l'angle ASC est droit; done la figure
SATC est un quarre egal au quarre ABCD. Mais si on compare la pyramide BASCT a la pyramide SABCD, la base
ASCT de la premiere peut se placer sur la base ABCD de la
seconde; alors le point 0 etant un centre commun, la hanteur OB de la premiere coincidera avec la hauteur OS de la
seconde, et les deux pyramides se confondront en une seule;
done l'angle solide S est egal a l'angie solide B; done le solide SABCDT est an octaedre r6gulier.
Scholie. Si trois droites egales, AC, BD, ST, sont perpendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu, les
extremites de ces droites seront les sommets d'un octaedre
regulier.
Construction du dode&caedre.
ig. 246. Soit ABCDE un pentagone regulier donne; soient ABP,
CBP, deux angles plans egaux h l'angle ABC: avec ces angles
plans formez l'angle solide B, et determinez par la proposition xxiv, livre v, l'inclinaison mutuelle de deux de ces
plans, inclinaison que j'appelle K. Formez semblablement
aux points C, D, E, A, des angles sol;les egaux a 1'angle
solide B, et situes de la meme maniere: le plan CBP sera le
meme avec le plan BCG, puisqu'ils sont inclines l'un et
l'antre de la meme qnantite K sur Ie plan ABCD. On pent
done dans ie plan PBCG decrir e e pentagone BCGFP egal