Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

23o GiBMETToIE.
augmente de plus en plus a mesure que l'angle compris par
les cotes donnes est plus grand; enfin, lorsque cet angle sera
egal a deux droits, les trois cotes seront dans un mieme
plan, et formeront une circonfdren.ce entiere; le triangle
spherique deviendra donc egal a la demi sphere, mais il
cessera alors d'etre triangle.
PROPOSITION XXVII.
THE ORE B E.
De tous les triangles spheriques formes avec un cdte donne
et un pernzetre donne, le plus grand est celui dans lequel
les deux cotes non determzneds sont egaux.
i. 242. Soit AB le c6te donne commun aux deux triangles ACB,
ADB, et soit AC -CB - AD +- DB; je dis que le triangle
isoscele ACB, dans lequel AC-= CB, est plus grand que le
non-isoscele ADB.
Car ces triangles ayant la partie commune AOB, il suffit
de faire voir que le triangle BOD est plus petit que AOC.
L'angle CBA egal a CAB est plus grand que OAB; ainsi
2,- le c6te AO est plus grand que OB*; prenez OI=OB, faites
OK = OD, et joignez KI; le triangle OKI sera egal a DOB*.
Si on nie maintenant que le triangle DOB ou son egal K01
soit plus petit que OAC, il faudra qu'il soit egal ou plus
grand; dans l'un et l'autre cas, puisque le point I est entre
les points A et 0, il faudra que le point K soit sur OC prolonge, sans quoi le triangle OKI serait contenu dans le
triangle CAO, et par consequent plus petit. Cela pose, Ie
plus court chemin de C en A 6tant CA, on a CK -1-KI+
IA > CA. Mais CK- OD —CO, AI=-AO -OB, KI=BD;
donc OD)-CO AO-OB+-gBD >CA, et en reduisant AD
— CB -BD > CA, ou AD - BD >AC + CB. Or cette inegalite est contraire a l'hypothese AD -+ BD -_ AC - CB,
doirc le point K ne peut tomber sur le prolongement de OC;
done il tombe entre 0 et C, et par cons6quent le triangle
KOI, ou son egal ODB, est plus petit que ACO done lc
triangle isoscele ACB est plus grand que le nondisoscile ADI)
(Ie lenmee base et de mntme perimetre.
Sch/olieo Ces deux dernieres propositions sont analogues