Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LXVRE VII. 229
La meme demonstration et la m6me conclusion auraient fig 273
lieu, si, en prenant toujours lare CA'- CA, on faisait
f'angle BCA' < BCA; done ABC est le triangle le plus grand
entre tous ceux qui ont deux c6tes donnes et le troisieme a
volonte.
Scholie I. Le triangle ABC, le plus grand entre tous ceux fig. 24x.
qui ont deux c6tes donnes CA, CB, peut etre inscrit dans
un demi-cercle dont la corde du troisieme cote AB sera le
diametre; car O etant le milieu de AB, on a vu que les distances OC, OB, sont egales; done la circonference de petit
cercle d6crite du point 0 comme pole et de l'intervalle OB
passera par les trois points A, B, C. De plus la ligne droite
BA est un diamnetre dc ce petit cercec; par le centre qui doit
se trouver a la fois dans le plan du petit cercle et dans le
plan de i'arc de grand cercle* BOA, se trouvera necessai- pr.,
rement dans l'intersection de ces deux plans qui est la droite cor. 4,
BA, et ainsi BA sera un diametre.
II. Dans le triangle ABC, l'angle C etant egal a la somme
des deux autres A et B, il s'ensuit que la somme des trois
angles est double de l'angle C. Mais cette somme est tonjours plus grande que deux angles droits done l'angle C *
est plus grand qu'un droit.
1II. Si l'on prolonge les cotes CB, CA, jusqu'a leur rencontre en E, le triangle BAE sera egal an quart de la surface
de la sphere. Car l'angle E-=C=ABC —CAB; done les
trois angles du triangle BAE equivalent aux quatre ABC
ABE, CAB, BAE, dont la somme est egale a quatre angles
droits; donc la surface du triangle BAE*-4 -2 = 2, '24.
qui est le quart de la surface de la sphere.
IV. I1 n'y aurait pas lieu a maximum, si la somme des deux
cotes donnes CA., CB, etait egale ou plus grande quc la
demi-circonf6rence d'un grand cercle. Car puisque le triangle ABC doit etre inscrit dans un demi-cercle de la sphere,
la somme des deux cotes CA, CB, sera moindre que la
demi-circonfdrence BCA*, et par consequent moindre que la * 3,
demi-circonf6rence d'un grand cercle.
La raison pourquoi il n'y a pas de maximum, lorsque la
somme des deux c6tds donnes est plus grande que la demiac:ii'cj (c d' vp.:jr d ( 3e, t'fs! qI1'a)orsle triangle