Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

228 GEOME TRIE.
Menez BI qui fasse l'angle CBI= BCD, et par suite IBD
=_BDC;les deux triangles IBC, IBD seront isosceles, et on
aura IC=-IB=-ID. Done le point I, milieu de DC, est a
egale distance des trois points B, D: par une raison semblable le point 0, milieu de AB, sera egalement distant
des trois points A, B, C.
fig. 272. Soit maintenant CA' = CA et l'angle BCA' > BCA; si l'on
joint A'B, et qu'on prolonge les arcs A'C, A'B, jusqu'a
leur rencontre en D', l'arc D'CA' sera une demi-circonference
ainsi que DCA; done puisqu'on aCA'- CA, on aura aussi
CD'= CD. Mais dans le triangle CID', on a C1 + ID' > CD';
done ID'> CD -CI, ou ID' > ID.
Dans le triangle isoscele CIB divisons l'angle du sommet I
en deux egalement par l'arc EIF qui sera perpendiculaire
sur le milieu de BC. Si on prend un point L entre I et E, la
distance BL, egale a LC, sera moindre que BI; car on peut
demontrer, comme dans la prop. ix, liv. i, qu'on a BL+LC < BI +IC; done en prenant les moities de part et d'autre,
on aura BL < BI. Mais dans le triangle D'LC on a D'L > D'C
-CL, et a plus forte raison D'L > DC -CI, ou D'L > DI,
ou D'L > BI; done D'L > BL. Donc si on cherche sur l'arc
EIF un point egalement distant des trois points B, C, D',
ce point ne saurait se trouver que sur le prolongement de
EI vers F. Soit I' le point cherch6e en sorte qu'on ait D' I'
BI' CI'; les triangles I'CB, I'CD', I'BD', etant isosceles,
on aura les angles egaux I'BC= I'CB, I'BD' I'D'B, I'CD,
I'D'C. Mais les angles D'BC-+CBA' valent deux angles
droits, ainsi que D'CB -+BCA'; done
D'BI'-+ I'BC + CBA' z,
BCI'- I'CD' - BCA' 2.
Ajoutant les deux sommes et observant qu'on a I'BCGBC1
et D'BI'-I'CD'= BDT —I'D'C = CD'B -CA., on aura
21' BC + CA'B - CBA' +- BCA'._ 4,
Done CA' B - CBA'+- BCA'- 2 (mesure de l'aire di triangle A'BC) = 2 - I'BC; de sorte qu'on a aire A'BC a -
2 angle I'BC; semblablement dans le triangle ABC, on anrait aire ABC = 2 - 2 angle IBC. Or, on a demontr6 que
langle 'BC est plus grand que IBC; done 1'aire A'BC est
plus petite que ABC.