Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LI VRE V21. t222
moins deux fois le nombre de leurs c6tes, plus 4 pris autant
de fois qu'il y a de faces. Or, comme tous les angles qui
s'ajustent autour d'ul rneme point A valent quatre angles
droits, la somme de tous les angles des polygones est egale
a 4 pris autant de fois qu'il y a d'angles solides; elle est
done egale a 4S. Ensuite le double du nombre des c6tes AB,
BC, CD, etc. est egal au quadruple du nombre des aretes
ou= 4A, puisquc la mnme arete sert de cote a deux faces:
done on aura 8 4S — 4A+ 4H; ou, en prenant le quart
de chaque membre, - S- A +- H; done S +H --- A+.
Corollaire. I1 suit de Ia que la somme des angles plans
qui torment les angles solides d'un polyedrc est egale a autant de fois quatre angles droits qu'ily a d'unites dans S —2
S etant le nomnbre des angles solides dupolp3dre.
Car, si on considere une face dont le nombre de cotes
est n la somme des angles de cette face sera 2n-4 angles
droits*. Mais la somme de tous les n, ou le double du nom- 25, I
bre des c6tes de toutes les faces,=4A, et 4 pris autant de
fois qu'il y a de faces =4H; done la somme des angles de
toutes les faces -- 4A- 4. Or, par le theoreme qu'on vient
de d:montrer, on a A — H S -a et par consequent 4A/
- 41H 4 (S - a). Done la somme dles angles plans, etc.
PROPOSITION XX.
T HE R E M E.
De tous les triangles spheriques ormnes avec deux c6ts fig. 272
donnes CB, CA, et un troisiemne a volonte', le plus grand et 273,
ABC est celui dans lequel l'angle C, compris par les cd6t
donnes, est egal a la somme des deux autres angles A et B.
Prolongez les deux c6tes AC, AB jusqu'a leur rencontre
en D, vous aurez un triangle spherique BCD, dans lequel
l'angle DBC sera aussi egal a la somme des deux autres
angles BDC, BCD: car BCD -- BCA etant egal a deux
angles droits, ainsi que CBA - CBD, on a BCD - BCA
CBA -+CBI); ajoutant de part et d'autre BDC =BAC, on
aura BCD +BCA-+-BDC =CBA — CBD -+ BAC. Or, par
hypothese, BCA=CBA-+-BA C; done CBD=- BCD - BDC.