Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

220 G V OM A T?.~5
duit de deux angles droits par le nombre des
cotes du polygone ozoins deux.
fi8g 2a0. D'un meme sommet A soient menees a tous les
autres sommets les diagonales AC, AD; le polygone
ABCDE sera partage en autant de triangles moins
deux qu'il a de cotes. Mais la surface de chaque triangle a pour mesure la somme de ses angles moins
deux angles droits, et il est clair que la somme de tous
les angles des triangles est egale a la somme des angles
du polygone: done la surface du polygone est egale a
la somme de ses angles diminuee d'autant de fois deux
angles droits qu'il a de cotes moins deux.
Scholie. Soit s la somme des angles d'un polygone
spherique, n le nombre de ses cotes; l'angle droit
etant suppose l'unite, la surface du polygone aura
pour mesure s- 2 (n- 2) ou S - n + 4.
PROPOSITION XXV.
T EOR B M E.
Soit S le nombre des angles solides d'un polyclre, eH le
nombre de ses faces, A le nombre de ses artes; je dis qu'on
aura toujours S +- H = A - 2.
Prenez au-dedans du polyedre un point d'ou vous menerez des lignes droites aux sommets de tous ses angles; imaginez ensuite que du meme point comme centre on decrive
une surface sphlrique qui soit rencontree par toutes ces
lignes en autant de points; joignez ces points par des arcs
de grands cercles, de maniere a former sur la surface de la
sphere des polygones correspondants et en meme nombre
avec les faces du poiyedre. Soit ABCDE un de ces polygones
ig. 240. et soit n le nombre de ses co6ts; sa surface sera s — 2n - 4,
s etant la somme des angles A, B, C D, E. Si on 6value
semblablement la surface de chacun des autres polygones
spheriques, et qu'on les ajoute toutes ensemble, on en conclura que leur somme, ou la surface de la sphere representee
par 8, est egale a la somme de tousles a ngles des polygones