Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIXVRE VIi. 205
A et B, et soit hors de cet arc s'il est possible, M un
point de la ligne la plus courte entre A et B. Par le
point AI menez les arcs de grands cercles MA, MIB,
et prenez BN= MB.
Suivant le tlheoreme precedent l'arc ANB est plus
court que AM- I41 MB; retranchant de part et d'autre
BN =BM, it restera AN <AM3. Or, la distance de B
en AM, soit qu'elle se confonde avec l'are BM, ou
qu'elle soit toute autre ligne, est egale a la distance de
B et N; car en faisant tourner le plan du grand cercle
BM autour du diaretre qui passe par B, on peut amener le point M1X sur le point N, et alors la ligne la plus
courte de M en B, quelle qu'elle soit, se confondra
avec celle de N en B; done les deux chemins de A en
B) 'un en passant par M, l'autre en passant par N,
ont une partie egale de M en B et de N en B. Le premier chenin est, par hypothese, le plus court; done
la distance de A en M est plus courte que la distance
de A en N, ce qui serait absurde, puisque I'are AM
est plus grand que AN; done aucun point de la ligne
la plus courte entre A et B ne peut etre hors de l'arc
ANB; done cet arc est lui-megme la ligne la plus courte
entre ses extremites.
PROPOSITION IV.
T H E O REM E.
La somme des trois cotes d'un triangle spherique est moindre que la circonference cdun
grand cercle.
Soit ABC un triangle spherique quelconque; pro- fig. 224
longez les cotes AB, AC, jusqu'a ce qu'ils se rencontrent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seront
des demi-circonferences, puisque deux grands cercles
se coupent toujours en deux parties egales*; mais dans *.
le triangle BCD on a le cote BC < BD + CD*; ajoutant * a.