Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

r36 GEOMiETrI.
De l'autre c6t6 de CF soit faite la figure CKx entierement
egale a la figure CGx, de sorte qu'on ait CEK CG, l'angle
HCK = HCG, et l'arc Kx= xG; la courbe KxG envelop*9. pera l'arc KHG, et sera plus grande que cet arc-*. DQnc Gx,
moitie de la courbe, est plus grande que GH moitie de l'arc;
donc, a plus forte raison, GI est plus grand que GiI.
II resulte de la que l'apotheme OE est plus grand que CB:
imais les deux polygones ayant meme perimetre sont entre
* 7. eux comme leurs apothemes *; done le polygone qui a pour
demi-cote DE est plus grand que celui qui a pour demi-cote
AB: le premier a le plus de c6tes, puisque son angle au
centre est le plus petit; donc de deux polygones reguliers isoperimetres, celui qui a le plus de c6tes est le plus grand.
PROPOSITION X.
THE OREIMEo
Le cercle est plus g7rand que toutpolygone isoperimnetre.
fig. ~8o I1 est deja prouve que de tous les polygones isoperimetres
et d'un meme nombre de c6tes le polygone rdgulier est le
plus grand; ainsi il ne s'agit plus que de comparer le cercle
a un polygone r6gulier quelconque isoperimetre. Soit AI le
demi-cote de ce polygone, C son centre. Soit dans le cercle
isoperimictre l'angle DOE=-ACI, et consequemment l'arc
DE dgal au demi-cot_ AI. Le polygone P est au cercle C
comme le triangle ACI est au secteur ODE; ainsi on aura
P:C:: AI X CI: DEXOE::CI:OE. Soit menee au point
E la tangente EG qui rencontre OD prolonge en G; les tri —
angles semblables ACI, GOE, donneront la proportion CI:
OE::AI ouDE:GE; doncP:C::DE:GE, ou comme DEX
t OE qui est la mesure du secteur DOE est a GE X OE qui
est la mesure du triangle GOE: or le secteur est plus petit
qtte le triangle; done P est plus petit que C, done le cercle
est plus grand que tout polygone isoperiinetre.