Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

L1VRV3 IV. L35
ies ctes OD, OE, pirolonges; a cause des rayons egaux AC,
ABCFG
OF, on aura d'abord C::: AB:FG *, ou::-. Mais 17.
AC: FO
a cause des arcs semblables FG, DE, on a* FG:DE::FO: * xx.
FIG DE
DO; done le rapport - est egal au rapport —, et on a
AB DE
par consequent C::: — C --
AC 1DO'
PROPOSITION IX.
TH O R B ME.
De deux polygones reguliers isoperimetres, cetui q a le
plus grand nombre de cotes est le plus grand.
Soit DE le demi-cote de l'un des polygones, 0 son centre, fig. 1xo.
OE son apotheme; soit AB le demi-cte6 de l'autre polygone,
C son centre, CB son apotheme. On suppose les centres 0
et C situes a une distance quelconque OC, et les apothiemes,
OE, CB, dans la direction OC: ainsi DOE et ACB seront
les demi-angles au centre des polygones, et comme ces angles ne sont pas dgaux, les lignes CA, OD, prolongees, se
rencontreront en un point F; de ce point abaissez sur OC
la perpendiculaire FG; des points 0 et C, comme centres,
decrivez les arcs GI, GH, termines aux c6tes OF, CF.
GI 'GH
Cela pose, on aura par le lemme precedent 0: C:: —: CG;
OG CG
mais DE est au perimetre du premier polygone comme
l'angle O est a quatre angles droits, et AB est au peri.mttre
du second comme langle C est a, quatre angles droits; donc,
puisque les perimitres des polygones sont dgaux, DE. AB
GI GH
0: C, ou DE: AB:::. Multipliant ies antecedents
par OG et les consequents par CG, on aura DE X OG: AB X
CG::GI: GH. Mais les triangles semblables ODE, OFG,
donnent OE: OG:: DE: FG, d'ou resulte DE X OG = OE
X FG; on aura de mbme AB X CG C CB X FG; donc OE X
FG: CB X FG:: GI GH, ou OE CB:: GI: GH. Si done
on fait voir que I'arc GI est plus grand que l'arc GH, il
s'en suivra que l'apothhme OE est plus grand que CB.