Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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ii est plus petit, puisqu'il y est contenu; donc il est
impossible que - CA. circ. CA soit plus grand que
surf. CA, ou, en d'autres termes, il est impossible que
la circonference d'un cercle multipliee par la moitie
de son rayon soit la mesure d'un cercle plus grand.
Je dis en second lieu que le me&me produit ne peut
etre la mesure d'un cercle plus petit; et, pour ne pas
changer de figure, je supposerai qu'il s'agit du cercle
dont CB est le rayon; il faut donc prouver que -CB
X circ. CB ne peut etre la mesure d'un cercle plus
petit, par exeinple, du cercle dont le rayon est CA.
En effet, soit, s'il est possible, CB X circ. CB
surf. CA.
Ayant fait la meme construction que ci-dessus, la
surface du polygone DEFG, etc., aura pour mesure
(DE + EF + FG + etc.) X CA; mais le contour
DE- EF - FG - etc., est moindre que circ. CB
qui l'enveloppe de toutes parts; done laire du polygone est moindre que -C CA X circ. CB, et. a plus forte
raison moindre qne 2 CB x circ. CB. Cette derniere
quantite est, par hypothese, la mesure du cercle dont
CA est le rayon; done le polygone serait moindre
que le cercle inscrit, ce qui est absurde; donc il est
impossible que la circonference d'un cercle, multipliee par la moitie de son rayon, soit la mesure d'un
cercle plus petit.
Done enfin la circonference d'un cercle multipliee
par la moitie de son rayon est la mesure de ce meme
cercle.
Corollaire I. La surface d'un secteur est egale h l'are fig. z68.
de ce secteur multiplie par la moitie du rayon.
Car le secteur ACB est au cercle entier comme
l'are AIiB est " la circonflrence entiere ABD, ou * 7,.
comme AMB X - AC est a ABD X AC. Mais le cercle
entier-zABD x AC; done le secteur ACB a pour
meslre AMB x - AC,