Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

1l6 GEOMETRIE.
Cela pose, si la ligne AMB n'est pas plus petite que
toutes celles qui i'enveloppent, il existera parmi ces
dernieres une ligne plus courte que toutes les autres,
laquelle sera plus petite que AMB, ou tout au plus
egale a AMB. Soit ACDEB cette ligne enveloppante;
entre les deux lignes menez par-tout oiu vous voudrez
la droite PQ, qui ne rencontre point la ligne AMB,
ou du moins qui ne fasse que la toucher; la droite PQ
est plus courte que PCDEQ; done, si a la partie
PCDEQ on substitue la ligne droite PQ, on aura la
ligne enveloppante APQB plus courte que APDQB.
Mais, par hypothese, celle-ci doit etre la plus courte
de toutes; done cette hypothlese ne saurait subsister;
done toutes les lignes enveloppantes sont plus longues
que AMB.
fig. 63. Scholie. On demontrera absolumrent de la meme
maniere qu'une ligne convexe et rentrante sur ellememe AMB, est plus courte que toute ligne qui l'envelopperait de toutes parts, soit que la ligne enveloppante FHG touche AMB en un ou plusieurs points,
soit qu'elle 1'environne sans la toucher.
PROPOSITION X.
LEMM g.
Deux circonfePrences concentriques etant donnees, onpeut toujours inscrire dans laplus grande
un polygone regulier dont les cotes ne rencontrent
pas laplus petite, et onpeut aussi circonscrire a
la pluspetite unpolygone regulier dont les cotes
ne rencontrent pas la grande; de sorte que dans
l'un et dans i'autre cas les cotes dupolygone decritserontren rmds en tre les deux circonferences.
fig x64. Soient CA, CB, les rayons des deux circonferences
donnees. Au point A menez la tangente DE terminee a la grande circonference en D et E. inscrivez