Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

L IVRE IV, li3
Au pointT, milieu del'arc AB, menez a tangente GH,
qui sera parallele a AB *; faites la meme chose au milieu o. 2.
de chacun des autres arcs BC, CD, etc.; ces tangentcs
formeront par leurs intersections le polygone regulier
circonscrit GHIK, etc., semblable au polygone inscrit.
11 est aise de voir d'abord que les trois points 0O
B, H, sont en ligne droite, car les triangles rectangles OTH, OHN, ont l'hypotenuse commune OH, et
le cote OT r=ON; done ils sont egaux *; done ~ 18, i.
1'angle TO =- HON, et par consequent la ligne OH
passe par le point B milieu de l'arc TN: par la meme
raison le point I est sur le prolongement de OC, etc.
Mais, puisque GH est parallele a AB et HI a BC,
l'angle GHI=ABC "; de meme HIK = BCD, etc. 26, U.J
done les angles du polygone circonscrit sont egaux
a ceux du polygone inscrit. De plus, a cause de ces
memes paralleles, on a GH:AB::OH:OB, et HI:
BC::OH:OB; donc GH:AB:: HI:BC. Mais AB -
BC, done GIl H I. Par la meme raison HI -IK, etc.;
done les cotes du polygone circonscrit sont egaux
entre eux; done ce polygone est regulier et semblable
an polygone inscrit.
Corollaire I. Reciproquement, si on donnait le
polygone circonscrit GHIK, etc., et qu'il fallut tracer
par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., on
voit qu'il suffirait de mener auxsommes G, H, I, etc.,
du polygone donne les lignes OG-, 0H, etc., qui rencontreraient la circonfdrence aux pointsA, B, C, etc.;
on joindrait ensuite ces points par les cordes AB,
BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On
pourrait aussi, dans le meme cas, joindre tout simplenient les points de contact, T, N, P, etc., par les
cordes TN, NP etc., ce qui formerait egalement un
polygone inscrit semblable au circonscrit.
Corollaire II. Done on pentt circonscrire a un
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