Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE III. 10
le quotient i avec le reste AD, qu'il faut comparer
avec BC ou son egale AB.
On peut prendre AF AD, et porter reellemen
AF sur AB; on trouverait qu'il y est contenu deut
fois avec un reste: mais comme ce reste et les suivants
vont en diminuant, et que bient6t ils echapperaient
par leur petitesse, ce ne serait la qu'un moyen mecanique irparfait, d'oi l'on ne pourrait rien conclure
pour decider si les lignes AC, CB, ont entre elles ou
n'ont pas une commune mesure: or il est un moyen
tres-simple d'eviter les lignes decroissantes, et de
n'avoir a operer que sur des lignes qui restent toujours
de la meme grandeur.
En effet, Flangle ABC etant droit, AB est une tangente, et AE une secante menee du meme point, de
sorte qu'on a * AD:AB:: AB:AE. Ainsi dans la se- 3o.
conde operation, oil il s'agit de comparer AD avec AB,
on peut, au lieu du rapport de AD a AB, prendre
celui de AB a AE: or AB ou son egale CD est contenue deux fois dans AE avec le reste AD; donc le resultat de la seconde operation est le quotient 2 avec
le reste AD qu'il faut comparer a AB.
La troisieme operation, qui consiste a comparer AD
avec AB, se reduira de meme a comparer AB ou son
egale CD avec AE, et on aura encore 2 pour quotient
et AD pour reste.
Dela on voit que l'operation ne sera jamais terminee, et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre
la diagonale et le cote du quarre: vrite qui etait deja
connue par l'arithmetique (puisque ces deux lignes
sont entre elles:: / 2: ) *, mais qui acquiert un * I.
plus grand degre de clarte par la resolution geomntrique.
Scholie. I1 n'est done pas possible non plus de
trouver en nombres le rapport exact de la diagonale
au cote du quarr; mais on pent en approcher tant