Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

92 G10OMETaIE.
BA X AC AE X AD; mais AE AD+DE, et en multipliant de part et d'autre par AD, on a AE X AD=AD+
*28. AD X DE; d'ailleurs AD X DE=BD X DC *; donc enfin
BA X AC AD+BD X DC.
PROPOSITION XXXII.
THEOREIME.
fig. I34. Dans tout triangle ABC, le rectangle des deux cotes AB,
AC, est egal au rectangle comprs par le diametre CE du
cercle circonscrit et la perpendiculaire AD abaissee sur le
troisieme cdte BC.
Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC, sont rectangles, l'un en D, l'autre en A; de plus l'angle B=E; done
ces triangles sont semblables, et ils donnent la proportion
AB:CE::AD: AC; d'ou resulte AB X AC= CE X AD.
Corollaire. Si on multiplie ces quantites egales par la
meme quantite BC, on aura AB X AC X BC - CE X AD X BC.
* 6. Or, AD X BC est le double de la surface du triangle *; done
le produit tes trois cotes d'un triangle est egal ac sa surface
multipliee par le double du diametre du cercle circonscrit.
Le prod nit de trois lignes s'appelle quelquefois un solide,
par une raison qu'on verra ci-apris. Sa valeur se concoit
aisement, en imaginant que les lignes sont reduites en nombres, et multipliant les nombres dont il s'agit.
Scholie. On peut demontrer aussi que la surface d'un
triangle est dgale a son pedrimetre multiplie par la moitie du
rayon du cercle inscrit.
i;,. 87. Car les triangles AOB, BOC, AOC, qui ont leur sommet
commun en 0, ont pour hauteur commune le rayon du
cercle inscrit; done la somme de ces triangles sera egale h
la somme des bases AB, BC, AC, multipliee par la moitie
du rayon OD; done la surface du triangle ABC est egale
a son perimetre multiplie par la moitie du rayon du cercle
inscrit.