Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE III. 7
OE:OF, ces deux proportions donnent AE:CF::
EG: FH. On demontrera de la meme maniere que EG:
FH::GB:HD, et ainsi de suite; done les lignes AB,
CD, sont coupees proportionnellement par les paralleles EF, GH, etc.
PROPOSITION XVI.
THEOREME.
Reciproquenzent si les cotes AB, AC, sont cou- fig. r6.
pes proportionnellement par la ligne DE, en
sorte qu'on ait AD: DB:: AE EC, je dis que la
ligne DE sera paralele a la base BC.
Car si DE n'est pas parallele a BC, supposons que
DO en soit une; alors, suivant le theoreme precedent, on aura AD:BD::AO:OC. Mais, par hypothese, AD: DB:: AE: EC; donc on aurait AO: OC::
AE:EC; proportion impossible, puisque d'une part
l'antecedent AE est plus grand que AO, et que de
l'autre le consequent EC est plus petit que OC; done
la paralllel a BC menee par le point D ne peut differer de DE; done DE est cette parallele.
Scholie. La mneme conclusion aurait lieu si on supposait la proportion AB:AD::ACG:AE. Car cette proportion donnerait AB-AD: AD:: AC-AE: AE, on
BD:AD::CE:AE.
PROPOSITION XVII.
T HEOREME.
La ligne AD, qui divise en deux parties egales 6g. 117.
1'angle BAC d'un triangle, divisera la base BC
en deux segments BD, DC, proportionnels aux
cotes adjacents AB, AC; de sorte qu'on aura
BD:DC:: AB:AC,