Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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commensurables entre elles, et qu'elles soient, par
exemple, comme les nombres 7 et 4: si on divise AB
en 7 parties egales, AE contiendra 4 de ces parties, elevez a chaque point de division une perpendiculaire a la base, vous formerez ainsi sept rectangles partiels, qui seront egaux entre eux, puisqu'ils
auront meme base et meme hauteur. Le rectangle
ABCD contiendra sept rectangles partiels, tandis que
AEFD en contiendra quatre; donc le rectangle ABCD
est au rectangle AEFD comme 7 est a 4, ou comme
AB est a AE. Le meme raisonnement peut etre applique a tout autre rapport que celui de 7 a 4; donc,
quel que soit ce rapport, pourvu qu'il soit commensurable, on aura,
ABGD: AEFD:: AB:AE.
iig. 100. Supposons, en second lieu, que les bases AB, AE,
soient incommensurables entre elles; je dis qu'on n'en
aura pas moins,
ABCD:AEFD:: AB:AE.
Car si cette proportion n'est pas vraie, les trois premiers termes demeurant les memes, le quatrieme sera
plus grand ou plus petit que AE. Supposons qu'il soit
plus grand et qu'on ait,
ABCD: AEFD:: AB:AO.
Divisez la ligne AB en parties egales plus petites que
EO, il y aura au molns un point de division I entre E
et O: par ce point elevez sur Al la perpendiculaire IK;
les bases AB, AI, seront commensurables entre elles,
et ainsi on aura, par ce qui vient d'etre demontre,
ABCD: AIKD:: AB: AL.
lais on a, par hypothese,
ABCD:AEFD:: AEB: AO.
Dans ces deux proportions les antecedents sont egaux;
donc les consequents sont proportionnels, et il en
resultte,
AIKD: AEFD::AI: AO.