Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE I,

2I

la somme des deux angles AIG+AIB; retranchant de
part et d'autre les angles egaux AKC' AIB, il restera
l'angle C'KB'=AIC. Ces angles egaux dans les deux
triangles sont compris entre c6tes egaux chacun 'a
chacun, savoir C'K-=IB- CI, et KB'-AK-AI,
puisqu'on asuppose AB'S' AIJ= 2AK. Doncles deux
triangles B'C'K, ACI, sont egaux*; donc le c6te CTB' * lr6.
=AC, l'angle B'C'K=ACB, et l'angle KB'C'==CA.
I1 suit de la i~ que l'angle AC'B' designd par C' est
compose de deux angles egaux aux angles B et C du
triangle ABC, et qu'ainsi on a GC'B+C; 2 que i'angle
A du triangle ABC est compose de 'angle A' ou
C'AB' qui appartient au triangle AB'C' et de l'angle
CAI egaal l'angle B' du memne triangle, ce qui donne
A-A'+B'; donc A+B +C A'+B'+C'. WDailleurs puisqu'on a par hypothese AC < AB et par consequent C'B' < AC', o, voit que dans le triangle AC'B
l'angle en A, designe par A', est moindre que B'
et commie la somnme des deux est egale a I'angle A.
du triangle propose, il s'ensuit quI'on a I'angle A'
< 'A.
Si on applique la memne construlction at triangle
AB'C', pour former un. troisi6me triangle AC"B"
(ont les angles seront designa0s par A"' B" C' on
aura semblablement les deux egalites CG ' C'+ B
A'- A"+ B1, d'ou rsulte A/ -t+B'+C'=A"+ —B"+C
Ainsi la somme des trois angles est la meme dans ces
trois triangles: on aura en meme terns l'angle A" < A',
et par cons6quent A" <SAo
Continuant indefiniment a suite des triangles AC'B'
AC'3"B etc. on parviendra a un triangle abc dans
lequel la somme des trois angles sera toujours!a meme
que dans le triangle propose ABC et qui aura 1'angle
a plus petit que tel terme qu'on voudra de la progression decroissante -i-A, A, -A, etc,
On peut done supposer cette suite de triangles