Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

2 86

GEOMETRIE.

PMQ et le demi-carre PADQ autour du diametre PQ, le
demi-cercle decrira la sphere, et le demi-carre decrira le
cylindre circonscrit a la sphere.
La hauteur AD de ce cylincre est egale au diametre PQ,
la base du cylindre est egale au grand cercle, puisqu'elle
a pour diametre AB egale a MN; done la surface convexe
du cylindre est egale a la circonfarence du grand cercle
multipliee par son diametre. Cette mesure est la meme que
* I. celle de la surface de la sphere ' d'ou il suit que la surface de la sphere est egale t la suifaice laterale diu cylin(re
circonscrit.
Mais la surface de la sphere est egale a quatre grands
cercles; done la surface laterale du cylindre circonscrit est
egale aussi a quatre grands cercles: si on y joint les deux
bases qui valent deux grands cercles, la surface totale du
cylindre circonscrit sera egale a six grands cercles; done
]a surface de la sph6re est a la surface totale du cylindre
circonscrit commne 4 est a 6, ou cornmme 2 est a 3. C'est
le premier point qu'il s'agissait de demontrer.
En second lieu, puisque la base du cylindre circonscrit est egale i un grand cercle et sa hauteur au diametre,
la solidite du cylindre sera egale au grand cercle multiplie
*. par le diametre *. Mais la solidite de la sphere est egale a
*x4. quatre grands cercles multiplies par le tiers du rayon ',
ce qui revient a un grand cercle multiplie par A du rayon,
ou 2 du diametre; done la sphere est an cylindre circonscrit comme 2 est a 3, et par consequent les solidites de
ces deux corps sont entre elles comme leurs surfaces.
Scolie. Si on imagine un polyedre dont toutes les faces
touchent la sphere, ce polyedre pourra etre considere
comme compose de pyramides qui ont toutes pour sommet le centre de la sphere, et dont les bases sont les differentes faces du poly6dre. Or il est clair que toutes ces
pyramides auront pour hauteur commune le rayon de la
sphere; de sorte que chaque pyramide sera egale a la face