Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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GEOMIETRIE.

fig.24.. Dans I'hexaedre. L'angle de deux faces adjacentes est un angle
droit.
fig. 245. Dans l'octaedre. Formez un angle solide avec deux angles de
Lriangles equilateraux et un angle droit; l'inclinaison des deux
plans oi sont les angles des triangles sera celle de deux faces
adjacentes de l'octaedre.
fig. 246. Dans le dodcadlre. Chaque angle solide estffbrm(e avec trois
angles de pentagones reguliers; ainsi l'inclinaison des plans de
deux de ces angles sera celle de deux faces adjacentes du dodecaed re,
fig. 24.7 Dans 'icosaedre. Formez un angle solide avec deux angles de
triangles e quilateraux et un angle de pentagone regulier, 'inclinaison des deux plans oil sont les angles des triangles sera
celle de deux faces adjacentes de l'icosaedre.
PROPOSITION IV.
PROBLEME.
Etant donne le cote d'un polyedre r7eg1ier, trouver le rayon tde
la sphere inscrite et celui de la sphere circonscrite au polyerdre.
fi. 248. II faut d'abord demontrer que tout polyedre regulier peut
etre inscrit dans la sphere, et qu'il peut lui etre circonscrit.
Soit AB le cote commun ' deux faces adjacentes; soient C et E
les centres de ces deux faces, et CD, ED, les perpendiculaires
abaissees de ces centres sur le cote commun AB, lesquelles tomberont au point D, milieu de ce cote. Les deux perpendiculaires
CD, DE, font entre elles un angle connu, qui est egal h l'inclinaison de deux faces adjacentes, determinee par le probleme
priecdent. Or si, dans le plan CDE, perpendiculaire a AB, on
mene sur CD et ED les perpendiculaires indefinies CO et EO,
qui se rencontrent en O, je dis que le point O sera le centre de
la sphere inscrite et celui de la sphere circonscrite; le rayon de
la premiere etant OC, et celui de la seconde OA.
En effet, puisque les apothemes CD, DE, sont egaux, et
l'hypotrnuse DO commune, le triangle rectangle CDO est
P9, I. egal au triangle rectangle ODE*, et la perpendiculaire OC est
egale h la perpendiculaire OE. Mais AB etant perpendiciulaire