Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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GEOITETRIE.

convexe PFGH, etc., composee de six pentagones reguliers,
egaux et inclines chacun sur son adjacent de la meme quantite K.
Soit pfgh, etc., une seconde surface dgale h PFGH, etc., je dis
que ces deux surfaces peuvent etre reunies de maniere ai ne former qu'une seule surface convexe continue. En effet, l'angle opf,
par exemple, peut se joindre aux deux angles OPB, BPF, pour
faire un angle solide P egal a l'angle B; et dans cette jonction il
ne sera rien chang6e l'inclinaison des plans BPF, BPO, puisque
cette inclinaison est telle qu'il le faut pour la formation de
l'angle solide. Mais en m'nme temps que l'angle solide P se forme,
le c6te pf s'appliquera sur son egal PF, et au point F se trouveront reunis trois angles plans PFG, pfe, efg, qui formeront un
angle solide egal t chacun des angles dejta formes; cette jonction
se fera sans rien changer ni i l'etat de l'angle P, ni a celui de la
surface efgh, etc.; car les plans PFG, ejp, dejAi reunis en P,
ont entre eux l'inclinaison convenable K, ainsi que les plans efg,
efp. Continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux
surfaces s'ajusteront mutuellement l'une avec l'autre, pour ne
former qu'une seule surface continue et rentrante sur elle-memee:
cette surface sera celle d'un dodecaedre r6gulier, puisqu'elle est
composee de douze pentagones reguliers dgaux, et que tons ses
angles solides sont egaux entre eux.
Construction de l'icosaedre.
fig 247. Soit ABC une de ses faces; il faut d'abord former un angle
solide avec cinq plans egaux au plan ABC et egalement inclines
chacun sur son adjacent. Pour cela, sur le cote B'C', igal it BC,
faites le pentagone regulier B'C'H'I'D'; au centre de ce pentagone
elevez sur son plan une perpendiculaire, que vous terminerez
en A' de maniere que B'A'=B'C'; joignez A'C', A'H', A'I', A'D',
et l'angle solide A', forme par les cinq plans B'A'C', C'A'H', etc.,
sera l'angle solide requis. Car les obliques A'B', A'C', etc., sont
egales, et l'une d'elles A'B', est egale au c6t B'C'; done tous
les triangles B'A'C', C'A'H', etc., sont egaux entre eux et au
triangle donne ABC.
II est visible d'ailleurs que les plans B'A'C', C'A'H', etc., sont
egalement inclines chacun sur son adjacent; car les angles solides
B', C', etc., sont 6gaux entre eux, puisqu'ils sont formes chacun