Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE VII.

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TA, etc., vous aurez un solide SABCDT, compose de deux pyramides quadrangulaires SABCD, TABCD, adossees par leur base
commune ABCD; cc solide sera l'octaedre regulier demande.
En effet, le triangle AOS est rectangle en 0, ainsi que le
triangle AOD; les c6tes AO, OS, OD, sont egaux; done ces
triangles sont 6ganx, done AS = AD. On demontrera de m6me
que tons les autres triangles rectangles AOT, BOS, COT, etc.,
sont egaux an triangle AOD; done tons les c6tes AB, AS, AT, etc.,
sont egaux entre eux, et par consequent le solide SABCDT est
compris sous huit triangles egaux au triangle equilateral donn6
ABM. Je dis de plus que les angles solides du polyedre sont
egVYaux entre eux: par exemple, 'angle S est egal i l'angle B.
Car il est visible que le triangle SAC est 6gal au triangle DAC,
et qu'ainsi l'angle ASC est droit; donc la figure SATC est un
carre egal au carre ABCD. Mais si on compare la pyramide
BASCT a la pyramide SABCD, la base ASCT de la premiire peut
se placer sur la base ABCD de la seconde; alors le point O etant
un centre commun, la hanteur OB de la premiere coincidera
avec la hauteur OS de la seconde, et les deux pyramides se
confondront en une seule; done l'angle solide S est egal a
l'angle solide B; done le solide SABCDT est un octaedre
regulier.
Scolie. Si trois droites egales, AC, BD, ST, sont perpendiculaires
entre elles et se coupent dans leur milieu, les extremites de
ces droites seront les sommets d'un octaedre regulier.
Construction du dodecaedre.
Soit ABCDE un pentagone regulier donn6; soient ABP, CBP, fig. 2460
deux angles plans egaux h 'a ngle ABC: avec ces angles plans
formez l'angle solide B, et soit K l'inclinaison mutuelle de deux
de ces plans. Formez semblablement aux points C, D, E, A
des angles solides egaux t l'angle solide B, et situes de la meme
maniere: le plan CBP sera Ie meme avec le plan BCG, puisqu'ils
sont inclines l'un et l'autre de la meme quantite K sur le plan
ABCD. On peut done dans le plan PBCG decrire le pentagone
BCGFP egal au pentagone ABCDE. Si on fait de meme dans
chacun des autres plans CDI, DEL, etc., on aura une surface