Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

2. D

GEOIMETR1E.

S-nz sommets exigerait 3S-3n donnees, auxquelles ajoutant les
2n- 3 de la base, on aurait en tout 3 -n - 3. Mais ce nombre
est en ge6nral trop grand, il doit etre diminue du nombre de
conditions necessaires pour que les sommets qui repondent 't une
memee face soient dans tin mneme plan. Nous avons appele n le
nombre de c6t6s de la base, appelons de meme ', n", etc., les
nombres de cot6s des autres faces. Trois points determinent un
plan; ainsi ce qui se trouvera de plus que 3 dans chacun des
nonmbres n', n", etc., (lonnera autant de conditions pour que les
differents somrets soient situes dans les plans des faces atixquelles ils appartiennent, et le nombre total de ces conditions
sera cegall la somme (n'- 3) — (n"- 3) -- (n"'- 3) - etc. Mais le
nombre des termes de cette suite est H —, et d'ailleurs n —n'-i'z" -+ etc. - 2A: done la somme de la suite sera 2A - n -
3 (H - i). Retranchant cette somme de 3 S — n - 3, il restera
3S - A - 3H- 6, qlnantite qui, a cause de S +f-H A+ 2, se
reduit h A. Done le nornbre de donnzees necessaires pour determniner un polyedre, parmi tous ceux cle la meine espece, est egal au
nombre de ses aretes.
Remarquez cependant que les donnees dont il s'agit ne doivent
pas etre prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les elements du poly(dre; car, quoiqu'on eut atuant d'equations que d'inconnues, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantites connues rendissent le probleme indetermine. Ainsi il semblerait, d'apres le theoreme qu'on vient de
trouver, que la connaissance des aretes seules suffit en general
pour determiner un polyedre;, mais il y a des cas oui cette connaissance n'est pas suflisante. Par exemple, etant donne un prisme
non triangulaire quelconque, on pourra former une infinite d'autres prismes qui auront des aretes,egales et placees de la mieme
maniere. Car, des que la base a plus de trois c6ts, on pent, en
conservant les c6tes, changer les angles, et donner ainsi i cette
base une infinit6 de fories differentes; on peut aussi changer la
position de l'arete longitudinale du prisme par rapport au plan
de la base; enfin on peut combiner ces deux changements l'un
avec l'Patre; et il en resultera toujours un prisme dont les ar(etes
on c6ots n'auront pas clange6. oD'oi l'on voit que les aretes seules
ne suffisent pas dans ce cas pour determiner le solide.